哲数物を学ぶ

自然科学のことや自分の経験や考えたことについて書いていきます.

相加・相乗平均の不等式はグラフも一緒に見て記憶に残しやすくしましょう

相加・相乗平均の3次元グラフを描く.描画ソフトはgeogebraを用いる. 相加・相乗平均の不等式 実数 $a , b \geq 0$ に対し,$\displaystyle \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ が成り立つ.等号条件は $a=b$ である. $\displaystyle \frac{a+b}{2}$ と $\sqrt…

はてなブログでsvg画像を表示する方法

ブログ内で画像をきれいに表示したいと思ったので,ベクター形式であるsvg画像を貼る方法を調べたのでそのメモです. 基本的にはHTML上でのsvgファイルの表示方法を使うだけです. svgファイルをテキストエディタで開いて <svg> ... </svg> の部分をコピペすれば表示で…

ディラックのデルタ関数 $\delta (x)$ に普通の関数が入力されているときのふるまい

命題 ディラックのデルタ関数 $\delta(x)$ について以下の公式が成り立つ. 公式(a) \[ \displaystyle \delta \left((x-a)(x-b) \right)=\frac{1}{|a-b|} [\delta (x-a)+\delta(x-b)] ,a \neq b \tag{1} \] 公式(b) 方程式 f(x) = 0 に対して n 個の解 $x_1…

ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式の証明

量子力学でよく用いられるベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式(Baker–Campbell–Hausdorff formula)を示そう. 命題 演算子 $\hat{A},\hat{B}$ に対して次の2つが成り立つ. (a) 実数 $t$ に対して $\hat{B}(t) \equiv \exp(t\hat{A})\hat{B}\exp(-t\ha…

Powerpointでtexの数式をベクター画像(.emf)で挿入できるアドインの紹介(IguanaTex)

動作環境 powerpoint2016 IguanaTeX v1.55 powerpointでTeXの数式をベクター画像で挿入することができるアドインがある. IguanaTexというアドインである. 以下のHPから.ppamをダウンロードできる. IguanaTex - A Free Latex Add-In for PowerPoint on Win…

MathJaxで数式の上から斜線で取り消し線を引く方法(\cancelコマンドの読み込み方)

Latexで数式の上から斜線の取り消し線を引くには\cancelコマンドを用いればよいのだが,MathJaxでは標準では実装されておらず,cancel.jsを前もって読み込む必要がある. 方法 1.ヘッダーの中のMathJaxの設定のブロックにTeX: { extensions: ["cancel.js"] }…

エルミート演算子の不確定性関係の証明

命題 補題 補題1・Schwarzの不等式 補題2・エルミート演算子の期待値は実数である. 補題3・反エルミート演算子の期待値は純虚数である. 命題の証明 例・位置と運動量の不確定性関係 $\require{cancel}$ 命題 エルミート演算子 $\hat{A}$,$\hat{B}$ とそ…

エルミート演算子の固有値は実数であることの証明

命題 (a) エルミート演算子の固有値は実数である. (b) 1つのエルミート演算子の異なる固有値に対応する固有状態は互いに直交する. (a)の証明 あるエルミート演算子 $\hat{A}$ に対して,その固有状態を $|a_i \rangle$ ,固有値を複素数 $a_i $ とする(添…

位置演算子と運動量演算子はエルミート演算子であることの証明

命題 ある関数 $\psi(x)$,$\phi(x)$ が $x$ のすべての領域で定義されており,境界条件 $$\lim_{x \to \pm \infty} \psi(x) = 0 \ , \ \ \ \lim_{x \to \pm \infty} \phi(x) = 0 \tag{1}$$ をみたすものとする.このとき,位置演算子 $\hat{x}$ と運動量演…

状態ベクトルの三角不等式の証明

問題 二つの状態ベクトル $|A \rangle $,$|B \rangle$ の長さについての三角不等式 $$||A \rangle + |B \rangle | \leq ||A \rangle | + ||B \rangle |$$ を証明せよ. Schwarzの不等式 $$|\langle A|B \rangle| \leq ||A \rangle | \cdot ||B \rangle |$$ …