経緯と問題 beamer を使ってポスターを作っているとき，\hruleで引く水平線に色を付けたいと思った． そこで調べると，xcolorパッケージでオプションを選ぶと指定できる色の種類が増えることを知った．*1 そこでプリアンブルに\usepackage[x11names]{xcolor}…

問題 水素原子が半径 $r_0$ の球と考える．電子の位置の不確定さが $r_0$ 程度で，$r_0$ と運動量の不確かさ $p_0$ の積 $r_0 p_0$ が最小になる基底状態を考えると、不確定性原理より運動量の不確定さは $\hbar / r_0$ 程度ということになる．電子の持つエ…

問題 1000ボルトで加速した電子の位置 x と運動量 p を，同時に測定することを考える．位置の精度を 10-10 m で測定できたならば，運動量成分は何パーセント程度の測定となるか． 解答 電子の持つエネルギーは eV [J] である．（e：電荷素量．V = 1000） ポ…

問題 ガウス波束の不確定性（位置と運動量のゆらぎの積）の計算 - 哲数物を学ぶ 上の記事の問題の設定において，運動量の確率密度を求め，図示せよ．位置と運動量の確率密度の幅から，不確定性関係を考察せよ． 解答 運動量固有状態の位置表示波動関数 \begi…

目次 問題 (a) の解答 (b) の解答 (c) の解答 問題 1次元の自由な空間で，つぎの波動関数(波束)が定義されているとする． \[\psi (x) = A \exp [- \frac{x^2}{2\sigma^2} + ikx ] \] (a) この波動関数における位置の確率密度を求め，全空間で積分した結果が …

２つの群 X，Y について， 準同型写像 f : X → Y は単射 ⇔ Ker f = {0} （0 は 単位元） を示そう． 目次 f は単射 ⇒ Ker f = {0} の証明 Ker f = {0} ⇒ f は単射 の証明 f は単射 ⇒ Ker f = {0} の証明 f の準同型性より，∀x ∈ X に対し，f(x) = f(x+0) = f…

相加・相乗平均の3次元グラフを描く．描画ソフトはgeogebraを用いる． 相加・相乗平均の不等式 実数 $a , b \geq 0$ に対し，$\displaystyle \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ が成り立つ．等号条件は $a=b$ である． $\displaystyle \frac{a+b}{2}$ と $\sqrt…

ブログ内で画像をきれいに表示したいと思ったので，ベクター形式であるsvg画像を貼る方法を調べたのでそのメモです． 基本的にはHTML上でのsvgファイルの表示方法を使うだけです． svgファイルをテキストエディタで開いて <svg> ... </svg> の部分をコピペすれば表示で…

命題 ディラックのデルタ関数 $\delta(x)$ について以下の公式が成り立つ． 公式(a) \begin{equation} \displaystyle \delta \left((x-a)(x-b) \right)=\frac{1}{|a-b|} [\delta (x-a)+\delta(x-b)] ，a \neq b \end{equation} 公式(b) 方程式 f(x) = 0 に対…

量子力学でよく用いられるベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式(Baker–Campbell–Hausdorff formula)を示そう． 命題 演算子 $\hat{A},\hat{B}$ に対して次の2つが成り立つ． (a) 実数 $t$ に対して $\hat{B}(t) \equiv \exp(t\hat{A})\hat{B}\exp(-t\ha…