哲数物を学ぶ

自然科学のことや自分の経験や考えたことについて書いていきます.誰かの役に立てれば幸いです.

数学

「準同型写像 f が単射である」ことと「 Ker f = {0} 」は同値であることの証明

2つの群 X,Y について, 準同型写像 f : X → Y は単射 ⇔ Ker f = {0} (0 は 単位元) を示そう. 目次 f は単射 ⇒ Ker f = {0} の証明 Ker f = {0} ⇒ f は単射 の証明 f は単射 ⇒ Ker f = {0} の証明 f の準同型性より,∀x ∈ X に対し,f(x) = f(x+0) = f…

相加・相乗平均の不等式はグラフも一緒に見て記憶に残しやすくしましょう

相加・相乗平均の3次元グラフを描く.描画ソフトはgeogebraを用いる. 相加・相乗平均の不等式 実数 $a , b \geq 0$ に対し,$\displaystyle \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ が成り立つ.等号条件は $a=b$ である. $\displaystyle \frac{a+b}{2}$ と $\sqrt…

ディラックのデルタ関数 $\delta (x)$ に普通の関数が入力されているときのふるまい

命題 ディラックのデルタ関数 $\delta(x)$ について以下の公式が成り立つ. 公式(a) \begin{equation} \displaystyle \delta \left((x-a)(x-b) \right)=\frac{1}{|a-b|} [\delta (x-a)+\delta(x-b)] ,a \neq b \end{equation} 公式(b) 方程式 f(x) = 0 に対…

MathJaxで数式の上から斜線で取り消し線を引く方法(\cancelコマンドの読み込み方)

Latexで数式の上から斜線の取り消し線を引くには\cancelコマンドを用いればよいのだが,MathJaxでは標準では実装されておらず,cancel.jsを前もって読み込む必要がある. 方法 1.ヘッダーの中のMathJaxの設定のブロックにTeX: { extensions: ["cancel.js"] }…

1次元イジング模型はマルコフ連鎖確率過程をなす

設定と表記方法 証明 参考文献 設定と表記方法 最近接相互作用のみを持つ1次元イジング模型を考える.この系のハミルトニアンを とする. はスピンの値($\pm 1$)を表す.$J$ は近接間の相互作用の強さ,$H$ は外場の強さを表す.(参考1) という表記は…

PowerPointでLaTeXのコマンドを用いて数式の入力をする方法

最近,Office365のアップデートでWordとPowerPointとOneNoteの数式入力ツールにおいてLaTeXのコマンドを使うことができるようになった. 以下のサイトに詳細が書かれている. LaTeX Math in Office – Murray Sargent: Math in Office PowerPointにおいてはLa…

sinc関数を用いたガウス関数(正規分布)の近似

$\displaystyle{\lim_{n \to \infty} {\rm sinc}^{n} \left(\frac{x}{\sqrt{n}} \right) = e^{-\frac{x^2}{6}}}$ の証明 \begin{eqnarray} {\rm sinc}^n \left(\frac{x}{\sqrt{n}} \right) &=& \left(\frac{\sin \frac{x}{\sqrt{n}}}{\frac{x}{\sqrt{n}}} \r…

複素数z=x+iyと外積の性質を用いて二重積分 ∫dxdy を ∫dzdz* と表示する.

多重積分に現れる微小要素 というのは外積として定義する考え方がある. つまり は詳しくは という外積の記号が省略されている. 2変数関数 の積分を複素数 とその複素共役 を用いた関数 の積分に変換するときはその微小要素の変換は以下のようになる.

word2016で数式の右端に数式番号を入力し,相互参照する方法

word2016の数式入力で数式番号を数式の右端に入力する方法をまとめる.表を用いた方法などはすでに紹介しているサイトが他にたくさんあるが,ここでは表を使わず数式ツールとSEQフィールドを用いてキーボード入力だけで数式番号を入力する方法を紹介する.相…

『証明と論理に強くなる』を読んだ

『証明と論理に強くなる』 著:小島寛之 2017年 を読んだ. 高校数学で習う範囲の中で「証明と論理」は他の単元と比べて少し異色な雰囲気を感じる人がいるのではないか.公式を使って計算して値を決定する問題が大半の中,この「証明と論理」の単元では何か…

『脳はいかにして数学を生みだすのか』を読んだ

『脳はいかにして数学を生みだすのか』 著:武田暁 2016 を読んだ. 著者の武田暁氏は長年素粒子物理学の研究されている理論物理学者である.現在では脳科学の研究をしていて本書のような脳と科学との関連についての本を何冊か出している.本書では人間が長…