時間に依存しない，縮退のない摂動まとめ

時間に依存しない，非縮退な摂動論の問題設定と計算方法をまとめる．

問題

非摂動ハミルトニアン $\hat{H}_0$ と摂動ポテンシャル $\hat{V}$ と微小パラメータ $\lambda$ によって $$\hat{H}=\hat{H}_0+ \lambda \hat{V}$$ という形をした，時間に依存しないハミルトニアン $\hat{H}$ で表される量子系の解 $\{(E_n , |n \rangle)\}_n$ を近似的に求める．

$E_n$ はハミルトニアン $\hat{H}$ のエネルギー固有値，$|n \rangle$ はエネルギー固有値 $E_n$ に対応した固有状態である．すなわち，

\begin{equation} \hat{H} |n \rangle=E_n |n \rangle \end{equation}

と表される．

非摂動項 $\hat{H}_0$ の厳密で非縮退な解 $\{(E^{(0)}_n , |n^{(0)} \rangle)\}_{n }$ が与えられているとする．すなわち，$\hat{H}_0$ の厳密で非縮退なエネルギー固有値 $\{E^{(0)}_n \}_{n}$ とそれに対応した固有状態 $\{|n^{(0)} \rangle\}_{n}$ を用いて

$$\hat{H}_0 |n^{(0)} \rangle=E^{(0)}_n |n^{(0)} \rangle$$

が成り立つ．

方法

求めたい解 $\{(E_n , |n \rangle)\}_{n}$ を非摂動解 $\{(E^{(0)}_n , |n^{(0)} \rangle)\}_{n }$ からのずれとして以下のように $\lambda$ のべき級数として展開する． $$\begin{eqnarray} |n \rangle &=&|n^{(0)} \rangle + \lambda |n^{(1)} \rangle + \lambda^2 |n^{(2)} \rangle + \cdots \\ E_n &=& E^{(0)}_n + \lambda E^{(1)}_n + \lambda^2 E^{(2)}_n + \cdots \end{eqnarray}$$

これらを式(1)に代入して $\lambda$ の次数ごとに係数比較することで1次以上の摂動固有状態 $\{|n^{(k)} \rangle \}_{k \in \mathbb{N}}$ と摂動エネルギー固有値 $\{E^{(k)}_n \}_{k \in \mathbb{N}}$ を逐次計算することができる．

結果（1次と2次について）

非摂動固有状態 $\{|n^{(0)} \rangle\}_{n}$ における摂動ポテンシャル $\hat{V}$ の行列要素 $V_{nk}\equiv \langle n^{(0)}|\hat{V}|k^{(0)} \rangle$ を用いると，1次と2次の摂動は以下の公式によって求められる．

$$ \begin{eqnarray} |n^{(1)} \rangle &=& \sum_{k \neq n} |k^{(0)} \rangle \frac{V_{kn}}{E_n ^{(0)} -E_k ^{(0)}} \\ |n^{(2)} \rangle &=& \sum_{k \neq n} \sum_{l \neq n} |k^{(0)} \rangle \frac{V_{kl} V_{ln}}{(E_n ^{(0)} -E_k ^{(0)})(E_n ^{(0)} -E_l ^{(0)})} - \sum_{k \neq n} |k^{(0)} \rangle \frac{V_{nn} V_{kn}}{(E_n ^{(0)} -E_k ^{(0)})^2} \\ E_n ^{(1)} &=& V_{nn} \\ E_n ^{(2)} &=& \sum_{k \neq n} |k^{(0)} \rangle \frac{|V_{nk}|^2}{E_n ^{(0)} -E_k ^{(0)}} \end{eqnarray} $$

参考文献