哲数物を学ぶ

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ガウス波束の不確定性(位置と運動量のゆらぎの積)の計算

目次

問題

1次元の自由な空間で,つぎの波動関数(波束)が定義されているとする.

\[\psi (x) = A \exp [- \frac{x^2}{2\sigma^2} + ikx ] \]

(a) この波動関数における位置の確率密度を求め,全空間で積分した結果が $1$ になるように規格化定数 $A$ を決定せよ.また,横軸を $x$ ,縦軸を確率密度として図示せよ.

(b) この関数を用いて,$\hat{x}$,$\hat{x}^2$,$\hat{p}$,$\hat{p}^2$ の期待値(平均値) $\langle \hat{x} \rangle$,$\langle\hat{x}^2 \rangle$,$\langle\hat{p}\rangle$,$\langle\hat{p}^2\rangle$ を求めよ.

(c) この波動関数に対して $\Delta \hat{x} = \hat{x} - \langle x \rangle $,$\Delta \hat{p} = \hat{p} - \langle p \rangle$ と定義するとき,座標と運動量の不確定性の積が最小になっていることを示せ.

(a) の解答

位置 $x$ における確率密度は \[ |\psi(x)|^2 = \psi^{*} \psi = A^2 \exp \{ (- \frac{x^2}{2\sigma^2} + ikx) + (- \frac{x^2}{2\sigma^2} - ikx) \} = A^2 \exp\left(- \frac{x^2}{\sigma^2} \right) \] である.これを全空間で積分する.ガウス積分を用いて, \[\int^{\infty}_{-\infty} |\psi(x)|^2 dx= A^2 \int^{\infty}_{-\infty} \exp\left(- \frac{x^2}{\sigma^2} \right) dx = A^2 \sigma \sqrt{\pi}\] となる.規格化条件より,$ A^2 \sigma \sqrt{\pi} =1 $ である.よって, \[ A^2 = \frac{1}{\sigma \sqrt{\pi}} \] なので,求めたい確率密度関数 $|\psi(x)|^2$ は \[ |\psi(x)|^2 = \frac{1}{\sigma \sqrt{\pi}} \exp\left(- \frac{x^2}{\sigma^2} \right)\] である.

図は以下のようなガウス型となる.

é¢æ° ff(x) = â¯-x² ç¹ AA = (0, 1) ç¹ AA = (0, 1) xtext1 = âxâ |\psi|^2text2 = â|\psi|^2â |\psi|^2text2 = â|\psi|^2â |\psi|^2text2 = â|\psi|^2â |\psi|^2text2 = â|\psi|^2â \frac{1}{\sigma \sqrt{\pi}}text3 = â\frac{1}{\sigma \sqrt{\pi}}â \frac{1}{\sigma \sqrt{\pi}}text3 = â\frac{1}{\sigma \sqrt{\pi}}â \frac{1}{\sigma \sqrt{\pi}}text3 = â\frac{1}{\sigma \sqrt{\pi}}â \frac{1}{\sigma \sqrt{\pi}}text3 = â\frac{1}{\sigma \sqrt{\pi}}â \frac{1}{\sigma \sqrt{\pi}}text3 = â\frac{1}{\sigma \sqrt{\pi}}â \frac{1}{\sigma \sqrt{\pi}}text3 = â\frac{1}{\sigma \sqrt{\pi}}â

(b) の解答

計算すると以下が求められる.

\[ \langle \hat{x} \rangle = 0 \quad ,\quad \langle\hat{x}^2 \rangle = \frac{\sigma^2}{2} \quad ,\quad \langle\hat{p}\rangle = \hbar k \quad ,\quad \langle\hat{p}^2\rangle = \frac{\hbar^2 (1+2k^2 \sigma^2)}{2\sigma^2} \]


(c) の解答

(b)より,$\Delta\hat{x} = \hat{x}$,$\Delta\hat{p} = \hat{p} - \hbar k$ である.

よって,

\begin{align} \langle (\Delta\hat{x})^2 \rangle &= \langle \hat{x}^2 \rangle = \frac{\sigma^2}{2} \\ \langle (\Delta\hat{p})^2 \rangle &= \langle \hat{p}^2 -2k\hbar \hat{p} +k^2 \hbar^2 \rangle = \langle \hat{p}^2\rangle -2k\hbar \langle\hat{p}\rangle +k^2 \hbar^2 \\ &= \frac{\hbar^2 (1+2k^2 \sigma^2)}{2\sigma^2} -2k^2\hbar^2 +k^2\hbar^2 \\ &= \frac{\hbar^2}{2\sigma^2} \end{align}

なので不確定性の積は \[\langle (\Delta\hat{x})^2 \rangle\langle (\Delta\hat{p})^2 \rangle =\frac{\sigma^2}{2} \frac{\hbar^2}{2\sigma^2} = \frac{\hbar^2}{4} \] であり,これは不確定性関係の最小値である.

ガウス波束の運動量空間表示に関しては以下のページで述べる.

ガウス波束の運動量表示とその不確定性 - 哲数物を学ぶ



参考文献

現代の量子力学(上) 第2版 (物理学叢書)

現代の量子力学(上) 第2版 (物理学叢書)

  • 作者: J.J.サクライ,J.ナポリターノ,J.J. Sakurai,Jim Napolitano,桜井明夫
  • 出版社/メーカー: 吉岡書店
  • 発売日: 2014/04/10
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