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問題
1次元の自由な空間で，つぎの波動関数(波束)が定義されているとする．
\[\psi (x) = A \exp [- \frac{x^2}{2\sigma^2} + ikx ] \]
(a) この波動関数における位置の確率密度を求め，全空間で積分した結果が $1$ になるように規格化定数 $A$ を決定せよ．また，横軸を $x$ ，縦軸を確率密度として図示せよ．
(b) この関数を用いて，$\hat{x}$，$\hat{x}^2$，$\hat{p}$，$\hat{p}^2$ の期待値(平均値) $\langle \hat{x} \rangle$，$\langle\hat{x}^2 \rangle$，$\langle\hat{p}\rangle$，$\langle\hat{p}^2\rangle$ を求めよ．
(c) この波動関数に対して $\Delta \hat{x} = \hat{x} - \langle x \rangle $，$\Delta \hat{p} = \hat{p} - \langle p \rangle$ と定義するとき，座標と運動量の不確定性の積が最小になっていることを示せ．
(a) の解答
位置 $x$ における確率密度は
\[ |\psi(x)|^2 = \psi^{*} \psi = A^2 \exp \{ (- \frac{x^2}{2\sigma^2} + ikx) + (- \frac{x^2}{2\sigma^2} - ikx) \} = A^2 \exp\left(- \frac{x^2}{\sigma^2} \right) \]
である．これを全空間で積分する．ガウス積分を用いて，
\[\int^{\infty}_{-\infty} |\psi(x)|^2 dx= A^2 \int^{\infty}_{-\infty} \exp\left(- \frac{x^2}{\sigma^2} \right) dx = A^2 \sigma \sqrt{\pi}\]
となる．規格化条件より，$ A^2 \sigma \sqrt{\pi} =1 $ である．よって，
\[ A^2 = \frac{1}{\sigma \sqrt{\pi}} \]
なので，求めたい確率密度関数 $|\psi(x)|^2$ は
\[ |\psi(x)|^2 = \frac{1}{\sigma \sqrt{\pi}} \exp\left(- \frac{x^2}{\sigma^2} \right)\]
である．
図は以下のようなガウス型となる．
(b) の解答
計算すると以下が求められる．
\[ \langle \hat{x} \rangle = 0 \quad ,\quad \langle\hat{x}^2 \rangle = \frac{\sigma^2}{2} \quad ,\quad \langle\hat{p}\rangle = \hbar k \quad ,\quad \langle\hat{p}^2\rangle = \frac{\hbar^2 (1+2k^2 \sigma^2)}{2\sigma^2} \]
\begin{align}
\langle \hat{x} \rangle
&= \langle \psi | \hat{x} | \psi \rangle
=\int^{\infty}_{-\infty} dx\int^{\infty}_{-\infty} dx' \langle \psi | x\rangle \langle x | \hat{x} | x'\rangle \langle x' |\psi \rangle \\
&= \int^{\infty}_{-\infty} dx\int^{\infty}_{-\infty} dx' \psi^*(x) x \delta (x-x') \psi(x')
= \int^{\infty}_{-\infty} dx x \psi^*(x)\psi(x)
= \int^{\infty}_{-\infty} dx x |\psi(x)|^2 \\
& = \int^{\infty}_{-\infty} dx x \frac{1}{\sigma \sqrt{\pi}} \exp\left(- \frac{x^2}{\sigma^2} \right)
= \frac{1}{\sigma \sqrt{\pi}} \times 0 = 0
\end{align}
上と同様に次も計算できる．こちらでは $x^2$ がかけられたガウス積分を用いる．
\[
\langle\hat{x}^2 \rangle = \langle \psi | \hat{x}^2 | \psi \rangle
= \int^{\infty}_{-\infty} dx x^2 \frac{1}{\sigma \sqrt{\pi}} \exp\left(- \frac{x^2}{\sigma^2} \right)
=\frac{1}{\sigma \sqrt{\pi}} \frac{1}{2} \sqrt{\pi \sigma^6} = \frac{\sigma^2}{2}
\]
運動量の期待値も同様である．
\begin{align}
\langle\hat{p}\rangle &= \langle \psi | \hat{p} | \psi \rangle
=\int^{\infty}_{-\infty} dx\int^{\infty}_{-\infty} dx' \langle \psi | x\rangle \langle x | \hat{p} | x'\rangle \langle x' |\psi \rangle \\
&= \int^{\infty}_{-\infty} dx\int^{\infty}_{-\infty} dx' \psi^*(x) \left(-i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \right) \delta (x-x') \psi(x')
= \int^{\infty}_{-\infty} dx \psi^{*}(x)\left(-i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \right)\psi(x) \\
&= \int^{\infty}_{-\infty} dx \left( A\exp [- \frac{x^2}{2\sigma^2} - ikx ] \right) \left(-i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \right) \left( A\exp [- \frac{x^2}{2\sigma^2} + ikx ] \right) \\
&= -i\hbar A^2 \int^{\infty}_{-\infty} dx \left( \exp [- \frac{x^2}{2\sigma^2} - ikx ] \right) \left( \frac{\partial}{\partial x} \exp [- \frac{x^2}{2\sigma^2} + ikx ] \right) \\
&= -i\hbar \frac{1}{\sigma \sqrt{\pi}} \int^{\infty}_{-\infty} dx \exp [- \frac{x^2}{2\sigma^2} - ikx ] \left(- \frac{x}{\sigma^2} + ik \right) \exp [- \frac{x^2}{2\sigma^2} + ikx ] \\
&= - \frac{i\hbar}{\sigma \sqrt{\pi}} \int^{\infty}_{-\infty} dx \left(- \frac{x}{\sigma^2} + ik \right) \exp [- \frac{x^2}{\sigma^2}] \\
&= - \frac{i\hbar}{\sigma \sqrt{\pi}} \int^{\infty}_{-\infty} dx \left(\vphantom{\frac{x}{\sigma^2}}\right. \underbrace{- \frac{x}{\sigma^2}\exp [- \frac{x^2}{\sigma^2}]}_{奇関数だから積分して0} + \left. ik \exp [- \frac{x^2}{\sigma^2}] \right) \\
&= - \frac{i\hbar}{\sigma \sqrt{\pi}} \int^{\infty}_{-\infty} dx \left(ik \exp [- \frac{x^2}{\sigma^2}] \right) = - \frac{i\hbar}{\sigma \sqrt{\pi}} ik \sigma \sqrt{\pi} \\
&= \hbar k
\end{align}
\begin{align}
\langle\hat{p}^2\rangle &= \langle \psi | \hat{p}^2 | \psi \rangle \\
&= \int^{\infty}_{-\infty} dx \left( A\exp [- \frac{x^2}{2\sigma^2} - ikx ] \right) \left(-i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \right)^2 \left( A\exp [- \frac{x^2}{2\sigma^2} + ikx ] \right) \\
&= -\hbar^2 A^2 \int^{\infty}_{-\infty} dx \exp [- \frac{x^2}{2\sigma^2} - ikx ] \left(\frac{\partial}{\partial x} \left(- \frac{x}{\sigma^2} + ik \right) \exp [- \frac{x^2}{2\sigma^2} + ikx ] \right) \\
&= -\frac{\hbar^2}{\sigma \sqrt{\pi}} \int^{\infty}_{-\infty} dx \exp [- \frac{x^2}{2\sigma^2} - ikx ] \left(-\frac{1}{\sigma^2} \exp [- \frac{x^2}{2\sigma^2} + ikx ] +\left(- \frac{x}{\sigma^2} + ik \right)^2 \exp [- \frac{x^2}{2\sigma^2} + ikx ]\right) \\
&= -\frac{\hbar^2}{\sigma \sqrt{\pi}} \int^{\infty}_{-\infty} dx \left(-\frac{1}{\sigma^2}\exp \left(- \frac{x^2}{\sigma^2}\right) + \left( \frac{x^2}{\sigma^4} -\frac{2ik}{\sigma^2}x -k^2\right)\exp \left(- \frac{x^2}{\sigma^2}\right)\right) \\
&= -\frac{\hbar^2}{\sigma \sqrt{\pi}} \left(-\frac{1}{\sigma^2} \sigma \sqrt{\pi} + \frac{1}{\sigma^4} \frac{1}{2}\sqrt{\pi \sigma^6} -k^2 \sigma \sqrt{\pi}\right) \\
&= \frac{\hbar^2 (1+2k^2 \sigma^2)}{2\sigma^2}
\end{align}
(c) の解答
(b)より，$\Delta\hat{x} = \hat{x}$，$\Delta\hat{p} = \hat{p} - \hbar k$ である．
よって，
\begin{align}
\langle (\Delta\hat{x})^2 \rangle &= \langle \hat{x}^2 \rangle = \frac{\sigma^2}{2} \\
\langle (\Delta\hat{p})^2 \rangle &= \langle \hat{p}^2 -2k\hbar \hat{p} +k^2 \hbar^2 \rangle = \langle \hat{p}^2\rangle -2k\hbar \langle\hat{p}\rangle +k^2 \hbar^2 \\
&= \frac{\hbar^2 (1+2k^2 \sigma^2)}{2\sigma^2} -2k^2\hbar^2 +k^2\hbar^2 \\
&= \frac{\hbar^2}{2\sigma^2}
\end{align}
なので不確定性の積は
\[\langle (\Delta\hat{x})^2 \rangle\langle (\Delta\hat{p})^2 \rangle =\frac{\sigma^2}{2} \frac{\hbar^2}{2\sigma^2} = \frac{\hbar^2}{4} \]
であり，これは不確定性関係の最小値である．
ガウス波束の運動量空間表示に関しては以下のページで述べる．
ガウス波束の運動量表示とその不確定性 - 哲数物を学ぶ
参考文献
