水素原子の基底状態のエネルギーと半径の長さの古典的概算

問題

水素原子が半径 $r_0$ の球と考える．電子の位置の不確定さが $r_0$ 程度で，$r_0$ と運動量の不確かさ $p_0$ の積 $r_0 p_0$ が最小になる基底状態を考えると、不確定性原理より運動量の不確定さは $\hbar / r_0$ 程度ということになる．電子の持つエネルギー(運動エネルギーとクーロン力による静電エネルギー) \begin{equation} E = \frac{p^2}{2m_e} - \frac{e^2}{4\pi \epsilon _0 r} \end{equation} を計算するのに，$r = r_0$ ，$p = \hbar / r_0$ として大雑把な値を見積もることにする．基底状態（最もエネルギーの低い状態）のエネルギーと，そのときの半径を求めよ．

解答

式(1) に $r = r_0$ ，$p = \hbar / r_0$ を代入すると， \[E = \frac{\hbar^2}{2m_e {r_0}^2} - \frac{e^2}{4\pi \epsilon _0 r_0} \] となる．この式は$1 / r_0$ に関して下に凸の二次関数である．その最小値(グラフの頂点)を求めるために $1 / r_0$ について平方完成すると \[E = \frac{\hbar^2}{2m_e} \left(\frac{1}{r_0}-\frac{e^2 m_e}{4\pi \epsilon_0 \hbar^2} \right)^2 - \frac{e^4 m_e}{32\pi^2 {\epsilon_0}^2 \hbar^2}\] となる． ▶クリックで途中計算を開く

\begin{align} E &= \frac{\hbar^2}{2m_e {r_0}^2} - \frac{e^2}{4\pi \epsilon _0 r_0} = \frac{\hbar^2}{2m_e } \left(\frac{1}{{r_0}^2}- \frac{e^2 m_e}{2\pi \epsilon _0 \hbar^2 } \frac{1}{r_0}\right) \\ &= \frac{\hbar^2}{2m_e } \left\{ \left(\frac{1}{r_0}- \frac{e^2 m_e}{4\pi \epsilon _0 \hbar^2 } \right)^2 - \left(\frac{e^2 m_e}{4\pi \epsilon _0 \hbar^2 } \right)^2 \right\} \\ &= \frac{\hbar^2}{2m_e} \left(\frac{1}{r_0}-\frac{e^2 m_e}{4\pi \epsilon_0 \hbar^2} \right)^2 - \frac{e^4 m_e}{32\pi^2 {\epsilon_0}^2 \hbar^2} \end{align}

よって $E$ の最小値は $- \frac{e^4 m_e}{32\pi^2 {\epsilon_0}^2 \hbar^2} \fallingdotseq -2.180 \times 10^{-18} \ [\mathrm{J}]$ である．

そのときの半径は $r_0 = \frac{4\pi \epsilon_0 \hbar^2}{e^2 m_e} \fallingdotseq 5.291 \times 10^{-11} \ [\mathrm{m}]$

この $r_0$ の値はボーア半径と呼ばれる．