三浦と窮理とブログ

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単体複体としての連結性と位相空間としての連結性が同値であることの証明

目次

記法

K(0) は単体複体 K に含まれる0-単体(頂点)の集合.

|K| は単体複体 K をRm 上の部分集合として見たもの.すなわち $|K| = {\displaystyle \bigcup_{\sigma \in K} \sigma}$ .

σ° は単体 σ の内部.

σは単体 σ の境界.

σ が τ の辺単体であることは σ ≼ τ と表す.(σ が τ の真の辺単体であることは σ ≺ τ で表す.)

st(v) は閉星状体 := ${\displaystyle \left(\bigcup_{v \in \sigma \in K} \sigma \right)} $ ⊂ K ▶クリックで閉星状体のイメージ図を開く

詳しい定義は参考 *1 にしたがっている.

定義

位相空間が連結である.

位相空間 X がどちらも閉集合(またはどちらも開集合)である2つの部分集合 A , B (≠∅) で X = A ∪ B と表されるならば,A ∩ B ≠ ∅ であるとき,X は連結であるという.

これは,連結な位相空間は閉集合同士(または開集合同士)で分離できないという性質である.参考 *2

位相空間が弧状連結である.

位相空間 X 上の任意の2点を結ぶ孤が X 上に存在するとき,その位相空間 X を弧状連結であるという.

単体複体が連結である.

単体複体 K の任意の2つの頂点 v , v' に対し,有限の長さの K の頂点列 v = v1 , v2 , … , vk = v' s.t.〈vi , vi+1〉∈ K , (1 ≤ i ≤ k-1 ) が存在するとき,この単体複体 K は連結であるという.

これは複体上の任意の2つの頂点をその複体上の1-単体で結ぶことができるという性質である.

補題

任意の点 x ∈ |K| に対して,x ∈ σ° となる単体 σ ∈ K が1つだけ存在する
(x ∈ |K| , ∃!σ ∈ K s.t. x ∈ σ°)

命題

K が複体として連結である. ⇔ |K| は位相空間として連結である.

証明

K が複体として連結である. ⇒ |K| は位相空間として連結である.

一般に集合が弧状連結ならば連結なので,「単体複体 K が連結である. ⇒ 位相空間 |K| は弧状連結である」ことを示せばよい.

任意の2点 x , y ∈ |K| を結ぶ孤を構成しよう.

x , y が K の頂点であるかどうかに関して以下の3つの場合に分けて考えよう.

(a) x と y のどちらも K の頂点である.
(b) x と y のどちらか一方が K の頂点である.
(c) x と y のどちらも K の頂点にない.

(a) の場合

単体複体としての連結性より,K の頂点列 x = v1 , v2 , … , vk = y s.t.〈vi , vi+1〉∈ K が存在する.

そして ${\displaystyle\bigcup_{i=1}^{k-1} \langle v_i,v_{i+1} \rangle}$ は x と y を結ぶ |K| 上の孤となっている.

(b) の場合

ここでは x が K の頂点ではなく,y が K の頂点である場合を考える.逆の場合も同様に孤を構成できる.

補題より σ ∈ K s.t. x ∈ σ° が1つ存在する.そして σ のとある頂点 v を選ぶ.

x ∈ σ° より x ≠ v なので,x と v は一般の位置にあり,1-単体 〈x ,v〉⊂σ を構成できる.

2つの K の頂点 v と y に対して,K の単体複体としての連結性より,K の頂点列 v = v1 , v2 , … , vk = y s.t.〈vi , vi+1〉∈ K が存在する.

そして ${\displaystyle \langle x,v \rangle \cup \left(\bigcup_{i=1}^{k-1} \langle v_i,v_{i+1} \rangle \right)}$ は x と y を結ぶ |K| 上の孤となっている.

(c) の場合も同様に孤を構成できる.

K が複体として連結である. ⇐ |K| は位相空間として連結である.

方針:位相空間としての連結性より,とある頂点は孤立せず,かならず隣の頂点が単体複体に存在することから,頂点列を探していく.来た道は戻らないように次の頂点を探すことで,頂点の取り方が全部で有限通りになるようにする. 終点も与えられているので,終点への方向性をある程度もって探していく.

v , v' ∈ K(0) (v ≠ v') に対して,$|K| = {\displaystyle \bigcup_{\sigma \in K} \sigma} $ は位相空間として連結なので,$ {\displaystyle v \cup \left(\bigcup_{\sigma \in K-\{\langle v \rangle \}} \sigma \right) \neq \emptyset}$ である.

よって,v を含む単体が K - {〈v〉} に存在し,それらの和集合 st(v) を考える .

v' ∈ st(v) の場合は1-単体〈v , v’〉∈ K が得られて終了.

v' ∉ st(v) の場合は,次の頂点 v2 を ( K - st(v) ) ∩ st(v) の中から探そう.

K - st(v) は2つの部分に分離している場合もあるので,v' を含む部分を選ぶ.この選ばれた単体複体を K2 とおく.(i.e. v' ∈ K2)(分離していない場合はそのまま K2 = K - st(v) ) ▶クリックで K2 を選ぶイメージ図を開く

K2st(v) から v2 を選ぶ.(i.e. 〈v , v2〉∈ K )

|K2| も位相空間として連結なので,$ {\displaystyle v_2 \cup \left(\bigcup_{\sigma \in K_2 -\{\langle v_2 \rangle \}} \sigma \right) \neq \emptyset}$ である.

よって,v2 を含む単体が K2 - {〈v2〉} に存在し,それらの和集合 st(v2) を考える .

v' ∈ st(v2) の場合は1-単体〈v2 , v’〉∈ K が得られて終了.

v' ∉ st(v2) の場合は,次の頂点を ( K - st(v2) ) ∩ st(v2) の中から先ほどと同様に探す.

以上をくりかえし,目的の頂点列 v = v1 , v2 , … , vk = v' s.t.〈vi , vi+1〉∈ K , (1 ≤ i ≤ k-1 ) が得られる.

K は単体の有限集合なのでこの頂点列は必ず見つかる.




参考文献

*1:

位相幾何入門

位相幾何入門

*2:

集合・位相入門

集合・位相入門