三浦と窮理とブログ

自然科学のことや自分の経験や考えたことについて書いていきます.誰かの役に立てれば幸いです.

ポアンカレ群の計算ノート

私が Pierre Ramond ”Field Theory A Modern Primer” §1.3 の ”The Poincaré Group” を読んだときにやった計算を載せていく.

文字の定義

P:平行移動の生成子・運動量

L:軌道角運動量

M:ローレンツ変換の生成子

W:パウリ- ルバンスキーベクトル

目次

ポアンカレ群

(1.3.3) ポアンカレ変換を2回する.

\begin{equation} x^\mu \to \Lambda^\mu_{1\nu} x^\nu + a^\mu_1 \to \Lambda^\mu_{2\rho} (\Lambda^\rho_{1\nu} x^\nu + a^\rho_1) + a^\mu_2 = \Lambda^\mu_{2\rho} \Lambda^\rho_{1\nu} x^\nu + \Lambda^\mu_{2\rho} a^\rho_1 + a^\mu_2 \end{equation}

ポアンカレ変換は群をなす

2,a2)(Λ1,a1) = (Λ2Λ1, Λ2a1 + a2 )

結合則

3,a3)[(Λ2,a2)(Λ1,a1)] = (Λ3,a3)(Λ2Λ1, Λ2a1 +a2 ) = (Λ3Λ2Λ1, Λ3Λ2a1 + Λ3a2 + a3)
[(Λ3,a3)(Λ2,a2)](Λ1,a1) = (Λ3Λ2, Λ3a2 + a3 )(Λ1,a1) = (Λ3Λ2Λ1, Λ3Λ2a1 + Λ3a2 + a3)

単位元

eP = (e,0)
(eはローレンツ変換の単位元)

逆元

(Λ,a)-1 = (Λ-1 , - Λ-1a)
-1はローレンツ変換の逆元)

▶クリックで逆元であることの証明を開く

生成子の性質

(1.3.4)平行移動の無限小変換の生成子

\begin{equation}\delta x^\mu = i \varepsilon^\rho P_\rho x^\mu = \varepsilon^\mu\end{equation}

▶クリックで途中計算を開く

(1.3.8) P とローレンツ変換の生成子 M の交換関係

\begin{equation} [M_{\mu\nu},P_\rho] = -ig_{\mu \rho}P_\nu +ig_{\nu \rho}P_\mu \end{equation}

▶クリックで途中計算を開く

P2はカシミール演算子である.

\begin{equation} [P^\mu P_\mu , M_{\nu \lambda}]=0\end{equation}

▶クリックで途中計算を開く

パウリ- ルバンスキー ベクトル演算子

定義

W = ★(P ∧ M)

∧ 外積

★ ホッジ双対

座標基底を選んで,

\begin{align} P &= P_\nu dx^\nu ~,~ M = \frac{1}{2}M_{\rho\sigma}dx^\rho \wedge dx^\sigma \\ P \wedge M &= \frac{1}{2}P_\nu M_{\rho\sigma} dx^\nu \wedge dx^\rho \wedge dx^\sigma \\ \star (P \wedge M) &= \frac{1}{2}P_\nu M_{\rho\sigma} \underbrace{\star (dx^\nu \wedge dx^\rho \wedge dx^\sigma)}_{={\varepsilon_\mu}^{\nu\rho\sigma} dx^\mu}= \underbrace{\frac{1}{2}P_\nu M_{\rho\sigma} {\varepsilon_\mu}^{\nu\rho\sigma}}_{=: W_\mu} dx^\mu \end{align}

パウリ- ルバンスキーベクトルはエルミート演算子である.

\begin{equation} (W^\mu)^\dagger = \frac{1}{2}\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\!\!\!\!\!\!\underbrace{{M_{\rho\sigma}^\dagger}{P_\nu}^\dagger }_{\substack{=M_{\rho\sigma}P_\nu \\ = P_\nu M_{\rho\sigma} + [M_{\rho\sigma},P_\nu]}} = W^\mu + \frac{1}{2}\underbrace{\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} (-ig_{\rho \nu}P_\sigma +ig_{\sigma \nu}P_\rho) }_{=0} = W^\mu \end{equation}

反対称な添え字と対称な添え字の縮約が0になる

(1.3.10) パウリ- ルバンスキーベクトル と運動量は可換である.

[Wμ, Pρ]=0

▶クリックで途中計算を開く

パウリ- ルバンスキーベクトルと運動量の内積は0

\begin{equation} P_\mu W^\mu = 0 \label{PW=0} \end{equation}

▶クリックで途中計算を開く

(1.3.11) パウリ- ルバンスキーベクトルと M の交換関係

\begin{equation} [M_{\mu\nu},W_\rho] = -ig_{\mu \rho}W_\nu +ig_{\nu \rho}W_\mu \end{equation}

▶クリックで途中計算を開く

パウリ- ルバンスキーベクトルの大きさW2はカシミール演算子である.

\begin{equation} [W^\mu W_\mu,P^\rho] = 0 ~,~ [W^\mu W_\mu,M_{\nu\lambda}] = 0 \end{equation}

▶クリックで途中計算を開く

(1.3.12) パウリ- ルバンスキーベクトルは軌道角運動量 L に依らない.

\begin{equation} W^\mu = - \frac{i}{2} \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}S_{\rho\sigma}\partial_\nu \end{equation}

▶クリックで途中計算を開く

パウリ- ルバンスキーベクトルの時間成分と空間成分

\begin{equation} W^0 = P_i J^i ~,~ W^i = -P_0 J^i + \frac{1}{2} \varepsilon^{ij\rho\sigma} P_j M_{\rho\sigma} \quad (i,j,k=1,2,3) \end{equation}

▶クリックで途中計算を開く

空間の角運動量 Ji と 4元運動量の時間成分P0 は可換である.

\begin{equation} [J^i,P_0] = \frac{1}{2} \varepsilon^{0ijk}\underbrace{[M_{jk},P_0]}_{=-ig_{j0}P_k +ig_{k0}P_j} =0 \end{equation}

パウリ- ルバンスキーベクトルの大きさ W2 の固有値は - m2 s(s+1) である.

WμWμ はLorentz不変量である.簡単のために静止座標系で考える. Pμ = (P0,0,0,0) より,(P0)2 の固有値 = m2 , Wμ = (0,- P0Ji).よって,WμWμ = P0Ji P0Ji = - P02JiJi

PμPμ = 0 , WμWμ = 0 , PμWμ = 0 ⇒ 運動量ベクトルと パウリ- ルバンスキー ベクトルは平行である.

運動方向に x 軸を置いて考える.i.e. Pμ = (P0,P1,0,0) .

PμPμ = 0 より(P0)2 = (P1)2 なので,Pμ = (P0, ± P0,0,0) .

PμWμ = 0 より,W1 = ± W0 . (∵ 0 = PμWμ = P0W0 - P1W1 = P0W0 ∓ P0W1)

WμWμ = 0 より,W2 = W3 = 0 .(∵ $(W^0)^2=\underbrace{(W^1)^2}_{=(W^0)^2}+(W^2)^2+(W^3)^2$.(正の数の和)=0 ⇔すべての項=0 )

以上より, Pμ = (P0, ± P0,0,0) , Wμ=(W0, ± W0,0,0) なので P と W は比例する.

これは端的には,二つのヌルベクトルは内積が 0 ならば平行であるということである.

参考文献

Field Theory: A Modern Primer

Field Theory: A Modern Primer

  • 作者: Pierre Ramond
  • 出版社/メーカー: Benjamin-Cummings Publishing Co.,Subs. of Addison Wesley Longman,US
  • 発売日: 1981/12
  • メディア: ペーパーバック
  • この商品を含むブログを見る