ユークリッド距離空間の開集合に関する例題を解いたので共有します．図をしっかり描いたので伝わってもらえると思います．正方形領域は開集合である．開球 は開集合である．1点集合は開集合ではない.任意の開集合の和集合は開集合である．y > x 領域 は開集…

3個の粒子系を考える． 各粒子の角運動量を表す演算子を J1 , J 2,J3 と表し，粒子系全体の合成角運動量演算子を J と表すとする． ここで，各粒子が角運動量 $ \ell _ 1 = 4 , \ell _ 2 =3 , \ell _ 3 =2 $ をもつ場合を考える． この粒子系の全角運動量 j …

次の教科書の11.2節より，SU(2)×U(1) 電弱理論における，電子ニュートリノ $\nu _ e$・電子 $e$ の弾性散乱を考える．散乱振幅 $T(\nu _ e e \to \nu _ e e) $において，荷電カレント相互作用の寄与は以下で表される．これがフィルツ変換により，に式変形で…

目次 2つの角運動量演算子の和は角運動量演算子である 導出 スピン軌道相互作用が働く系での保存量 導出 2つの角運動量演算子の和は角運動量演算子である 二つの角運動量演算子$ \hat{\boldsymbol{J}} _ 1,\hat{\boldsymbol{J}} _ 2 $が可換であるとき，その…

外磁場 $ \boldsymbol{B} $ と電子の相互作用エネルギーは $ H = - \boldsymbol{\mu}\cdot\boldsymbol{B} = \frac{e}{mc}\boldsymbol{S}\cdot\boldsymbol{B} $ で与えられる．ここに $ \boldsymbol{S} $ は電子のスピンである． このスピン演算子の時間発展 …

$ z $ 方向の均一な磁場 $ \boldsymbol{B} = (0,0,B) $ 中の電子のスピンが，$ t=0 $ で $ +x $ 方向を向いている． スピンの運動に関するハミルトニアンは， ボーア磁子 を $ \beta _ B = e\hbar /2m_ec $ とすると， $ \hat{H} = - \frac{2\beta _ { B } B…

スピン1/2の場合について，スピン角運動量演算子$ \hat{S}_z $の固有値$ \pm \hbar /2 $の固有状態を$ |\pm\frac{1}{2} \rangle $と表すとする．すなわち次が成り立つ． \begin{equation} \hat{S}_z |\pm\frac{1}{2} \rangle = \pm \frac{\hbar}{2}|\pm\frac…

縮小写像の原理（バナッハの不動点定理）を用いて次の命題を示そう．この写像を k 回くり返した写像 fk = f ◦ f ◦…◦ f が k ≥ 2 において縮小写像であるとする．このとき，f は X 上に不動点を一つ持つ．非線形積分方程式への応用

任意の n 次複素正方行列 M (ただし det M ≠ 0 )は，2つのユニタリー行列 U,V を用いて， U†MV = M _ D (M _ D は，対角成分がすべて正の実数である対角行列)と書くことができる．これは bi-unitary 変換 とも言われる．このことを証明しよう．

コーシー積の公式を少し詳しく書き下すと足し上げ方のイメージが確実になったと思うのでそれを共有する． ij 格子平面上の値 a_i b_j を考えた時，左辺の和は四角く足していくイメージ，右辺の和は3角形で足していくイメージである．無限和をとらないと成り…

3次元等方調和振動子の系を角運動量固有状態で表そう．本記事では第1，２励起状態について考える．3次元等方調和振動子のハミルトニアンはと表される．生成消滅演算子による表示．シュウィンガーの振動子モデル．角運動量固有値による表示．

Elekinの折りたたみ式ノートパソコンスタンドを買ったので冷却性能の検証をしてみた．このスタンドはファンも何もついていないただのスタンドだが，冷却効果が見られた．CINEBENCHでCPU使用率を100％にしている間のCPU温度をOpenHardwareMonitorで監視した．…

TeXのデータを保存するUSBメモリを変えたら，TexStudioでコンパイル後にSumatraPDFで自動更新してくれなくなった． [Changes detected; refreshing] %s （日本語だと [変更を検出: 更新中] %s ）と出て止まってた． 原因は保存メディアのフォーマットがexFAT…

TOSHIBA dynabook R734/K にメモリを増設します．追加したメモリはTranscend PC3L-12800 DDR3L-1600 です．合計12GBになりました．作業の内容と動画を記録しました．

量子力学で現れる演算子，位置，運動量，角運動量を3次元極座標で表す．そして極座標での微分演算子のエルミート共役を求める．

角運動量演算子L²とLzとその固有状態|,m〉と昇降演算子L±に対し，この固有状態の直交性を示し，これらの演算子のl=1のときの行列表示を求める．

角運動量演算子L2,Lzの固有値が取ることのできる値を角運動量演算子の代数的性質から求める．l は正の半整数をとり，mは -l ≤m ≤ l となる．

角運動量演算子 L²,Lz の固有状態 |l,m〉と昇降演算子 L± = Lx ± iLy について次が成り立つ． 昇降演算子は |l,m±1〉の状態を作る演算子であることが分かる．

角運動量演算子 L = x × p とその大きさの2乗 L² は次の交換関係を満たす．εijkはレビチビタ記号．アインシュタインの総和記法を用いる．対称な添え字と反対称な添え字の縮約は0になることは以下のページで紹介している．

対称テンソルと反対称テンソルの縮約は０になることを示そう． 2階の対称テンソル Tij と2階の反対称テンソル Skl について，この2つの添え字の縮約を行う． 記法はアインシュタインの規約を用いる． Tij Sij = - Tji Sji = - Tij Sij （添え字を付け直した…

2次元等方調和振動子のハミルトニアン \begin{equation} \hat{ H } = \frac { 1 } { 2 m } ( {\hat{ p } _ { x }} ^ { 2 } + {\hat{ p } _ { y } }^ { 2 } ) + \frac { 1 } { 2 } m \omega ^ { 2 } ( \hat{ x } ^ { 2 } + \hat{ y } ^ { 2 } ) \end{equation…

3次元自由空間でのガウス波束 \begin{equation} \psi ( \vec{x} , t = 0 ) = \langle \vec{ x } |\psi,0\rangle= \exp \left( - \frac { \alpha } { 2 } | \vec { x } | ^ { 2 } + \frac { i \vec { p } _ { 0 } \cdot \vec { x } } { \hbar } \right) \end{…

質量 m の粒子が3次元非等方調和振動子のポテンシャル \begin{equation} V ( x , y , z ) = \frac { m } { 2 } ( {\omega _ { x }} ^ { 2 } x ^ { 2 } +{ \omega _ { y }} ^ { 2 } y ^ { 2 } + {\omega _ { z } }^ { 2 } z ^ { 2 } ) \end{equation} 中を運…

粒子が透過できない壁を持つ3辺の長さが x=a , y=b , z=c の直方体の箱に閉じ込められた質量 m の粒子を考える． ポテンシャルは \begin{align} V(\boldsymbol{x}) &= V(x) + V(y) + V(z) \\ V(x) &= \begin{cases}0&(0\le x \le a)\\\infty &(a \le x)\end{…

ポテンシャルが V( x1 , x2 , x3 ) = V1( x1 ) + V2( x2 ) + V3( x3 ) の形であるとき，時間に依存しないシュレディンガー方程式は次のように各座標成分について分離できる． \begin{align} &\psi ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) = \psi _ { 1 } ( x…

自由粒子系と調和振動子系において，ハイゼンベルク表示の位置演算子$ \hat{x}(t) $と運動量演算子$ \hat{p}(t) $の時間発展を求める． 1次元自由粒子 1次元の自由粒子の系を考える．ハミルトニアンはハイゼンベルク表示で$ \hat{H}(t) = \frac{\hat{p} ^ 2(…

次の2つの井戸型ポテンシャル V(x) ,V'(x) 中の質量 m の粒子について，固有値問題が等価であることを示す． \begin{align} V ( x ) &= \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { ( x a ) } \\ { - V } & { ( 0 \frac { a } { 2 } \right) } \\ { - V } & { …

位置演算子 $ \hat{x} $ と運動量演算子 $ \hat{ p } $ に対し，次の演算子 \begin{equation} \hat { G } _ { \epsilon } = \left( 1 + \frac { \hat { p } } { i \hbar } \epsilon \right) \end{equation} を定義する． ε は微小量である．位置演算子 $ \ha…

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1次元調和振動子のハミルトニアンは，運動量演算子 $ \hat{p} $ と座標演算子 $ \hat{x} $ を用いて \begin{equation} \hat { H } = \frac { \hat { p } ^ { 2 } } { 2 m } + \frac { m \omega ^ { 2 } \hat { x } ^ { 2 } } { 2 } \end{equation} のように…