３次元位置演算子 ${\hat {\bf x}}$ と運動量演算子 ${\hat {\bf p}}$ とそれらに関する関数 $F({\hat {\bf x}})$，$G({\hat {\bf p}})$ について以下の交換関係が成り立つ．
$$\begin{eqnarray} [\hat{x}_i ,G({\hat{{\bf p}}})] &=& &i\hbar \frac{\partial G}{\partial \hat{p}_i} \\ [\hat{p}_i ,F({\hat{{\bf x}}})] &=& -&i\hbar \frac{\partial F}{\partial \hat{x}_i} \end{eqnarray}$$
この演算子で微分というのはあくまで形式的なものとなっている．$\hat{x}$ と $\hat{p}$ を正準交換関係が成り立つ単なる非可換な数として扱う．
関数をその変数の級数として展開することでこの公式を示すことができる．
例えば
$$[\hat{x},\hat{p}^n ] =i\hbar n \hat{p}^{n-1}$$
$$ [ \hat{x},\exp \left( i\frac{\hat{p} \hat{x}}{\hbar} \right)] = -\hat{x} \exp \left( i\frac{\hat{p} \hat{x}}{\hbar} \right) $$
などが成り立つ．
