三浦と窮理とブログ

主に自然科学について自分が勉強してきたことについて書いていきます.誰かの役に立ってくれれば嬉しいです.

時間に依存しない,縮退がある時の摂動まとめ

時間に依存しない,縮退がある時の摂動論の問題設定と計算方法をまとめる.

問題

問題は縮退がない場合と同じである.→ http://oviskoutar.hatenablog.com/entry/2017/09/27/124420

非摂動ハミルトニアン $\hat{H}_0$ と摂動ポテンシャル $\hat{V}$ と微小パラメータ $\lambda$ によって \begin{equation} \hat{H}=\hat{H}_0+\lambda \hat{V} \end{equation} という形をした,時間に依存しないハミルトニアン $\hat{H}$ で表される量子系の解 $\{(E_n , |n \rangle)\}_{n}$ を近似的に求める.

ここでは与えられる $\hat{H}_0$ の厳密解 $\{(E^{(0)}_n , |n^{(0)} \rangle)\}_{n}$ が縮退している場合を考える.

非摂動固有状態 $\{|n^{(0)} \rangle\}_{n}$ の中の $g$ 個の固有状態が同じエネルギー固有値 $E^{(0)}_D$ を持つとする.この $g$ 重縮退した固有状態のラベルの集合 $\mathbb{D}\equiv\{n ;\hat{H}_0 |n^{(0)} \rangle=E^{(0)}_D |n^{(0)} \rangle \}$ を定義し,$\mathbb{D}$ の要素を新たなラベル$m=1,\cdots,g$ を用いて表すとする.すなわち,任意の数 $m \in \mathbb{D}$ に対し, $\hat{H}_0 |m^{(0)} \rangle=E^{(0)}_D |m^{(0)} \rangle $ と表される.

縮退のない解 $\{(E^{(0)}_n , |n^{(0)} \rangle)\}_{n} \backslash \{(E^{(0)}_D , |m^{(0)} \rangle)\}_{m}$ については縮退のない摂動論の方法を適用すればよい.ここでは縮退のある解の部分だけを考える.

方法

摂動によって縮退は解かれ,摂動ハミルトニアン $\hat{H}$ のエネルギー固有値 $E_n$ は非縮退になることを期待する.つまり,非摂動ハミルトニアン $\hat{H}_0$ では縮退していた $g$ 個の解 $\{(E^{(0)}_D , |m^{(0)} \rangle)\}_{m}$ から摂動ハミルトニアン $\hat{H}$ の縮退のない $g$ 個の新たな解 $\left\{(E_l , |l \rangle)\right\}_{l=1}^g$ を構成する.

以下のようにこれらの解を展開する. $$ \begin{eqnarray} |l \rangle &=&|l^{(0)} \rangle + \lambda |l^{(1)} \rangle + \lambda ^2 |l^{(2)} \rangle + \cdots \\ E_l &=& E^{(0)}_D + \lambda E^{(1)}_l + \lambda ^2 E^{(2)}_l + \cdots \end{eqnarray} $$

これらの式を摂動ハミルトニアン $\hat{H}$ の固有値方程式に代入し, $\lambda$ の次数ごとに係数比較して高次の摂動固有状態を求める.

$|l^{(0)} \rangle$ は $|m^{(0)} \rangle$ から基底を取り換えただけの状態である.すなわち, $$|l^{(0)} \rangle= \sum_{m=1}^g \langle m^{(0)}|l^{(0)} \rangle |m^{(0)} \rangle$$ と表される.この0次の状態ではまだ縮退はある.すなわち,$\hat{H}_0 |l^{(0)} \rangle=E^{(0)}_D |l^{(0)} \rangle $.1次以上の摂動状態から縮退が解けることを期待する.

結果(エネルギー固有値の1次の摂動について)

非摂動固有状態 $\{|m^{(0)} \rangle\}_{m}$ における摂動ポテンシャル $\hat{V}$ の行列要素 $V_{mk}\equiv \langle m^{(0)}|\hat{V}|k^{(0)} \rangle$ を定義する.これを用いると,固有値の1次の摂動 $E^{(1)}_l$ は $g \times g$ 行列 $$(V_{mk})= \begin{pmatrix} V_{11} & V_{12} & \cdots & V_{1g} \\ V_{21} & V_{22}& \cdots & V_{2g} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ V_{g1} & V_{g2} & \cdots & V_{gg}
\end{pmatrix} $$

の $g$ 個の固有値である.重根がある場合は1次の摂動では縮退がすべて解けないということであり,2次以降の摂動で縮退が解けることを期待する.

また,この固有値 $E^{(1)}_l$ $(l=1,\cdots,g)$ に対応した $g$ 個の固有ベクトルは $$\langle m^{(0)}|l^{(0)} \rangle= \begin{pmatrix} \langle 1^{(0)}|l^{(0)} \rangle \\ \vdots \\ \langle g^{(0)}|l^{(0)} \rangle \end{pmatrix} \\ (l=1,\cdots,g)$$ に対応している.よって, $|m^{(0)} \rangle$ から基底を取り換えた0次の固有状態 $\{|l^{(0)} \rangle\}_{l=1}^g$ が決定する.



参考文献