時間に依存しない，縮退がある時の摂動論の問題設定と計算方法をまとめる．
問題
問題は縮退がない場合と同じである．→ http://oviskoutar.hatenablog.com/entry/2017/09/27/124420
ここでは与えられる $\hat{H}_0$ の厳密解 $\{(E^{(0)}_n , |n^{(0)} \rangle)\}_{n}$ が縮退している場合を考える．
非摂動固有状態 $\{|n^{(0)} \rangle\}_{n}$ の中の $g$ 個の固有状態が同じエネルギー固有値 $E^{(0)}_D$ を持つとする．この $g$ 重縮退した固有状態のラベルの集合 $\mathbb{D}\equiv\{n ;\hat{H}_0 |n^{(0)} \rangle=E^{(0)}_D |n^{(0)} \rangle \}$ を定義し，$\mathbb{D}$ の要素を新たなラベル$m=1,\cdots,g$ を用いて表すとする．すなわち，任意の数 $m \in \mathbb{D}$ に対し， $\hat{H}_0 |m^{(0)} \rangle=E^{(0)}_D |m^{(0)} \rangle $ と表される．
縮退のない解 $\{(E^{(0)}_n , |n^{(0)} \rangle)\}_{n} \backslash \{(E^{(0)}_D , |m^{(0)} \rangle)\}_{m}$ については縮退のない摂動論の方法を適用すればよい．ここでは縮退のある解の部分だけを考える．
方法
摂動によって縮退は解かれ，摂動ハミルトニアン $\hat{H}$ のエネルギー固有値 $E_n$ は非縮退になることを期待する．つまり，非摂動ハミルトニアン $\hat{H}_0$ では縮退していた $g$ 個の解 $\{(E^{(0)}_D , |m^{(0)} \rangle)\}_{m}$ から摂動ハミルトニアン $\hat{H}$ の縮退のない $g$ 個の新たな解 $\left\{(E_l , |l \rangle)\right\}_{l=1}^g$ を構成する．
以下のようにこれらの解を展開する． $$ \begin{eqnarray} |l \rangle &=&|l^{(0)} \rangle + \lambda |l^{(1)} \rangle + \lambda ^2 |l^{(2)} \rangle + \cdots \\ E_l &=& E^{(0)}_D + \lambda E^{(1)}_l + \lambda ^2 E^{(2)}_l + \cdots \end{eqnarray} $$
これらの式を摂動ハミルトニアン $\hat{H}$ の固有値方程式に代入し， $\lambda$ の次数ごとに係数比較して高次の摂動固有状態を求める．
$|l^{(0)} \rangle$ は $|m^{(0)} \rangle$ から基底を取り換えただけの状態である．すなわち， $$|l^{(0)} \rangle= \sum_{m=1}^g \langle m^{(0)}|l^{(0)} \rangle |m^{(0)} \rangle$$ と表される．この０次の状態ではまだ縮退はある．すなわち，$\hat{H}_0 |l^{(0)} \rangle=E^{(0)}_D |l^{(0)} \rangle $．１次以上の摂動状態から縮退が解けることを期待する．
結果（エネルギー固有値の１次の摂動について）
非摂動固有状態 $\{|m^{(0)} \rangle\}_{m}$ における摂動ポテンシャル $\hat{V}$ の行列要素 $V_{mk}\equiv \langle m^{(0)}|\hat{V}|k^{(0)} \rangle$ を定義する．これを用いると，固有値の１次の摂動 $E^{(1)}_l$ は $g \times g$ 行列
$$(V_{mk})=
\begin{pmatrix}
V_{11} & V_{12} & \cdots & V_{1g} \\
V_{21} & V_{22}& \cdots & V_{2g} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
V_{g1} & V_{g2} & \cdots & V_{gg}
\end{pmatrix}
$$
の $g$ 個の固有値である．重根がある場合は１次の摂動では縮退がすべて解けないということであり，２次以降の摂動で縮退が解けることを期待する．
また，この固有値 $E^{(1)}_l$ $(l=1,\cdots,g)$ に対応した $g$ 個の固有ベクトルは $$\langle m^{(0)}|l^{(0)} \rangle= \begin{pmatrix} \langle 1^{(0)}|l^{(0)} \rangle \\ \vdots \\ \langle g^{(0)}|l^{(0)} \rangle \end{pmatrix} \\ (l=1,\cdots,g)$$ に対応している．よって， $|m^{(0)} \rangle$ から基底を取り換えた０次の固有状態 $\{|l^{(0)} \rangle\}_{l=1}^g$ が決定する．
参考文献
