三浦と窮理とブログ

主に自然科学について自分が勉強してきたことについて書いていきます.困っている誰かの役に立ちたいですし,そのためにもっと成長したいです.

状態ベクトルの三角不等式の証明

問題

二つの状態ベクトル $|A \rangle $,$|B \rangle$ の長さについての三角不等式 $$||A \rangle + |B \rangle | \leq ||A \rangle | + ||B \rangle |$$ を証明せよ. Schwarzの不等式 $$|\langle A|B \rangle| \leq ||A \rangle | \cdot ||B \rangle |$$ を用いてもよい.

証明

\begin{eqnarray} ||A \rangle + |B \rangle |^2 &=& (\langle A| + \langle B|)(|A \rangle + |B \rangle) \\ &=& \underbrace{\langle A|A \rangle}_{(a)} + \underbrace{\langle A|B \rangle + \langle B|A \rangle}_{(b)} + \underbrace{\langle B|B \rangle}_{(c)} \\ &=& \underbrace{||A \rangle |^2}_{(a)} + \underbrace{2 {\rm Re} [\langle A|B \rangle]}_{(b)} + \underbrace{||B \rangle |^2}_{(c)} \\ &\leq & ||A \rangle |^2 + \underbrace{2 |\langle A|B \rangle|}_{(b)} + ||B \rangle |^2 \\ &\leq & ||A \rangle |^2 + \underbrace{2 ||A \rangle | \cdot ||B \rangle |}_{(b)} + ||B \rangle |^2 ({\rm Schwarz}の不等式)\\ &=& (||A \rangle | + ||B \rangle |)^2 \\ \end{eqnarray} よって $$||A \rangle + |B \rangle | \leq ||A \rangle | + ||B \rangle |$$ が成り立つ.

${\rm Re}[\ ]$ は $[\ ]$ の中の数の実部を表す.