三浦ノート

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エルミート演算子の不確定性関係の証明

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命題

エルミート演算子 $\hat{A}$,$\hat{B}$ とその交換関係 $[\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}$ に対し, \begin{equation} \sqrt{\langle (\Delta \hat{A})^2 \rangle \langle (\Delta \hat{B})^2 \rangle} \geq \frac{1}{2} |\langle [\hat{A},\hat{B}] \rangle| \end{equation} が成り立つ.ただし,任意の状態 $|\psi \rangle$ をもちいて $\langle \hat{A} \rangle = \langle \psi|\hat{A}|\psi \rangle$,$\Delta \hat{A} = \hat{A} - \langle \hat{A} \rangle$ とする.

補題

補題1・Schwarzの不等式

任意の状態 $|\alpha \rangle$,$|\beta \rangle$ に対して,$||\alpha \rangle|^2 ||\beta \rangle|^2 \geq |\langle \alpha | \beta \rangle|^2$ が成り立つ.


補題2・エルミート演算子の期待値は実数である.

任意のエルミート演算子 $\hat{A}$ に対し,$\langle \hat{A} \rangle ^{*} = \langle \psi|\hat{A}|\psi \rangle ^{*} = \langle \psi|\hat{A}|\psi \rangle =\langle \hat{A} \rangle$ である.つまり $\langle \hat{A} \rangle$ は複素共役をとっても不変なので実数である.


補題3・反エルミート演算子の期待値は純虚数である.

反エルミート演算子とは $\hat{C} ^\dagger =-\hat{C}$ で定義される演算子である.交代エルミート演算子とよぶこともある.

任意の反エルミート演算子 $\hat{C}$ に対し,$\langle \hat{C} \rangle ^{*} = \langle \psi|\hat{C}|\psi \rangle ^{*} = \langle \psi|(-\hat{C})|\psi \rangle =-\langle \hat{C} \rangle$ である.つまり $\langle \hat{C} \rangle$ は複素共役をとると符号が反転したので純虚数である.

命題の証明

式(1)の両辺を二乗した式 \begin{equation} \langle (\Delta \hat{A})^2 \rangle \langle (\Delta \hat{B})^2 \rangle \geq \frac{1}{4} |\langle [\hat{A},\hat{B}] \rangle|^2 \end{equation} を示そう.

$\Delta \hat{A}$ はエルミート演算子であることを注意しておく.▶証明を開く

$\langle (\Delta \hat{A})^2 \rangle \langle (\Delta \hat{B})^2 \rangle =\langle \psi|\Delta \hat{A} \Delta \hat{A}|\psi \rangle\langle \psi|\Delta \hat{B} \Delta \hat{B}|\psi \rangle =\underset{\text{Schwarzの不等式}}{| \Delta \hat{A}|\psi \rangle|^2 | \Delta \hat{B}|\psi \rangle|^2 \geq|\langle \psi|\Delta \hat{A} \Delta \hat{B}|\psi \rangle|^2} =|\langle \Delta \hat{A} \Delta \hat{B} \rangle|^2$より

\begin{equation} \langle (\Delta \hat{A})^2 \rangle \langle (\Delta \hat{B})^2 \rangle \geq |\langle \Delta \hat{A} \Delta \hat{B} \rangle|^2 \end{equation}

である.この式の右辺の評価をしよう.まずは \begin{eqnarray} \Delta \hat{A} \Delta \hat{B} &=& \frac{1}{2} [\Delta \hat{A}, \Delta \hat{B}] + \frac{1}{2} \{\Delta \hat{A}, \Delta \hat{B} \} \\ \end{eqnarray} というように式変形する. ▶途中計算を開く

ここで,$[\Delta \hat{A}, \Delta \hat{B}] = [\hat{A}, \hat{B}] $ なので,(▶証明を開く

\begin{equation} \Delta \hat{A} \Delta \hat{B} = \frac{1}{2} [ \hat{A}, \hat{B}] + \frac{1}{2} \{\Delta \hat{A}, \Delta \hat{B} \} \end{equation} となる.

また,$[\hat{A}, \hat{B}]$ は反エルミート演算子,$\{\Delta \hat{A}, \Delta \hat{B} \}$ はエルミート演算子であることを注意しておく. ▶証明を開く

以上より,式(19)の両辺の期待値をとると,補題2と3から

$$\langle \Delta \hat{A} \Delta \hat{B} \rangle= \frac{1}{2} \underset{\text{純キョ数}}{\langle [ \hat{A}, \hat{B}] \rangle}+ \frac{1}{2} \underset{\text{実数}}{\langle \{\Delta \hat{A}, \Delta \hat{B} \} \rangle } $$

となる.この式の絶対値の二乗をとることにより $$|\langle \Delta \hat{A} \Delta \hat{B} \rangle |^2= \frac{1}{4} |\langle [ \hat{A}, \hat{B}] \rangle|^2+ \frac{1}{4} |\langle \{\Delta \hat{A}, \Delta \hat{B} \} \rangle |^2 \geq \frac{1}{4} |\langle [ \hat{A}, \hat{B}] \rangle|^2$$ となり,式(9)より $$\langle (\Delta \hat{A})^2 \rangle \langle (\Delta \hat{B})^2 \rangle \geq \frac{1}{4} |\langle [ \hat{A}, \hat{B}] \rangle|^2 $$ が求められた.これが求めたかった不等式である.

例・位置と運動量の不確定性関係

位置演算子 $\hat{x}$ と運動量演算子 $\hat{p}$ との交換関係が $[\hat{x},\hat{p}]=i\hbar$ をみたすとすると,式(1)より $$\sqrt{\langle (\Delta \hat{x})^2 \rangle \langle (\Delta \hat{p})^2 \rangle} \geq \frac{1}{2} |\langle i\hbar \rangle|=\frac{\hbar}{2}$$ が成り立つ.



参考文献

現代の量子力学(上) 第2版 (物理学叢書)

現代の量子力学(上) 第2版 (物理学叢書)

  • 作者: J.J.サクライ,J.ナポリターノ,J.J. Sakurai,Jim Napolitano,桜井明夫
  • 出版社/メーカー: 吉岡書店
  • 発売日: 2014/04/10
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