三浦と窮理とブログ

主に自然科学について自分が勉強してきたことについて書いていきます.誰かの役に立ってくれれば嬉しいです.

エルミート演算子の不確定性関係の証明

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命題

エルミート演算子 $\hat{A}$,$\hat{B}$ とその交換関係 $[\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}$ に対し, \begin{equation} \sqrt{\langle (\Delta \hat{A})^2 \rangle \langle (\Delta \hat{B})^2 \rangle} \geq \frac{1}{2} |\langle [\hat{A},\hat{B}] \rangle| \end{equation} が成り立つ.ただし,任意の状態 $|\psi \rangle$ をもちいて $\langle \hat{A} \rangle = \langle \psi|\hat{A}|\psi \rangle$,$\Delta \hat{A} = \hat{A} - \langle \hat{A} \rangle$ とする.

補題

補題1・Schwarzの不等式

任意の状態 $|\alpha \rangle$,$|\beta \rangle$ に対して,$||\alpha \rangle|^2 ||\beta \rangle|^2 \geq |\langle \alpha | \beta \rangle|^2$ が成り立つ.


補題2・エルミート演算子の期待値は実数である.

任意のエルミート演算子 $\hat{A}$ に対し,$\langle \hat{A} \rangle ^{*} = \langle \psi|\hat{A}|\psi \rangle ^{*} = \langle \psi|\hat{A}|\psi \rangle =\langle \hat{A} \rangle$ である.つまり $\langle \hat{A} \rangle$ は複素共役をとっても不変なので実数である.


補題3・反エルミート演算子の期待値は純虚数である.

反エルミート演算子とは $\hat{C} ^\dagger =-\hat{C}$ で定義される演算子である.交代エルミート演算子とよぶこともある.

任意の反エルミート演算子 $\hat{C}$ に対し,$\langle \hat{C} \rangle ^{*} = \langle \psi|\hat{C}|\psi \rangle ^{*} = \langle \psi|(-\hat{C})|\psi \rangle =-\langle \hat{C} \rangle$ である.つまり $\langle \hat{C} \rangle$ は複素共役をとると符号が反転したので純虚数である.

命題の証明

式(1)の両辺を二乗した式 \begin{equation} \langle (\Delta \hat{A})^2 \rangle \langle (\Delta \hat{B})^2 \rangle \geq \frac{1}{4} |\langle [\hat{A},\hat{B}] \rangle|^2 \end{equation} を示そう.

$\Delta \hat{A}$ はエルミート演算子であることを注意しておく.▶証明を開く

$\langle (\Delta \hat{A})^2 \rangle \langle (\Delta \hat{B})^2 \rangle =\langle \psi|\Delta \hat{A} \Delta \hat{A}|\psi \rangle\langle \psi|\Delta \hat{B} \Delta \hat{B}|\psi \rangle =\underset{\text{Schwarzの不等式}}{| \Delta \hat{A}|\psi \rangle|^2 | \Delta \hat{B}|\psi \rangle|^2 \geq|\langle \psi|\Delta \hat{A} \Delta \hat{B}|\psi \rangle|^2} =|\langle \Delta \hat{A} \Delta \hat{B} \rangle|^2$より

\begin{equation} \langle (\Delta \hat{A})^2 \rangle \langle (\Delta \hat{B})^2 \rangle \geq |\langle \Delta \hat{A} \Delta \hat{B} \rangle|^2 \end{equation}

である.この式の右辺の評価をしよう.まずは \begin{eqnarray} \Delta \hat{A} \Delta \hat{B} &=& \frac{1}{2} [\Delta \hat{A}, \Delta \hat{B}] + \frac{1}{2} \{\Delta \hat{A}, \Delta \hat{B} \} \\ \end{eqnarray} というように式変形する. ▶途中計算を開く

ここで,$[\Delta \hat{A}, \Delta \hat{B}] = [\hat{A}, \hat{B}] $ なので,(▶証明を開く

\begin{equation} \Delta \hat{A} \Delta \hat{B} = \frac{1}{2} [ \hat{A}, \hat{B}] + \frac{1}{2} \{\Delta \hat{A}, \Delta \hat{B} \} \end{equation} となる.

また,$[\hat{A}, \hat{B}]$ は反エルミート演算子,$\{\Delta \hat{A}, \Delta \hat{B} \}$ はエルミート演算子であることを注意しておく. ▶証明を開く

以上より,式(19)の両辺の期待値をとると,補題2と3から

$$\langle \Delta \hat{A} \Delta \hat{B} \rangle= \frac{1}{2} \underset{\text{純キョ数}}{\langle [ \hat{A}, \hat{B}] \rangle}+ \frac{1}{2} \underset{\text{実数}}{\langle \{\Delta \hat{A}, \Delta \hat{B} \} \rangle } $$

となる.この式の絶対値の二乗をとることにより $$|\langle \Delta \hat{A} \Delta \hat{B} \rangle |^2= \frac{1}{4} |\langle [ \hat{A}, \hat{B}] \rangle|^2+ \frac{1}{4} |\langle \{\Delta \hat{A}, \Delta \hat{B} \} \rangle |^2 \geq \frac{1}{4} |\langle [ \hat{A}, \hat{B}] \rangle|^2$$ となり,式(9)より $$\langle (\Delta \hat{A})^2 \rangle \langle (\Delta \hat{B})^2 \rangle \geq \frac{1}{4} |\langle [ \hat{A}, \hat{B}] \rangle|^2 $$ が求められた.これが求めたかった不等式である.

例・位置と運動量の不確定性関係

位置演算子 $\hat{x}$ と運動量演算子 $\hat{p}$ との交換関係が $[\hat{x},\hat{p}]=i\hbar$ をみたすとすると,式(1)より $$\sqrt{\langle (\Delta \hat{x})^2 \rangle \langle (\Delta \hat{p})^2 \rangle} \geq \frac{1}{2} |\langle i\hbar \rangle|=\frac{\hbar}{2}$$ が成り立つ.



参考文献

現代の量子力学(上) 第2版 (物理学叢書)

現代の量子力学(上) 第2版 (物理学叢書)

  • 作者: J.J.サクライ,J.ナポリターノ,J.J. Sakurai,Jim Napolitano,桜井明夫
  • 出版社/メーカー: 吉岡書店
  • 発売日: 2014/04/10
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