三浦と窮理とブログ

主に自然科学について自分が勉強してきたことについて書いていきます.困っている誰かの役に立ちたいですし,そのためにもっと成長したいです.

ディラックのデルタ関数 $\delta (x)$ に普通の関数が入力されているときのふるまい

命題

ディラックのデルタ関数 $\delta(x)$ について以下の公式が成り立つ.

公式(a) \begin{equation} \displaystyle \delta \left((x-a)(x-b) \right)=\frac{1}{|a-b|} [\delta (x-a)+\delta(x-b)] ,a \neq b \end{equation} 公式(b) 方程式 f(x) = 0 に対して n 個の解 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ をもち,それぞれの点で微分係数が $f'(x_i)\neq0$ である実数値関数 f(x) に対し, \begin{equation} \displaystyle \delta[f(x)] = \sum_{i=1}^n \frac{1}{|f'(x_i)|} \delta(x-x_i) \end{equation}

公式(a)の証明

a < b の場合を考えればよい.すなわち |a-b| = b-a である. まずは式(1)の左辺のふるまいを調べよう.図1に簡単なイメージを示す.

é¢æ° f f(x) = x² - 2 ç·å g ç·å g: ç·å [A, B] x text1 = âxâ a text2 = âaâ b text3 = âbâ \frac{a+b}{2} text4 = â\frac{a+b}{2}â \frac{a+b}{2} text4 = â\frac{a+b}{2}â \frac{a+b}{2} text4 = â\frac{a+b}{2}â \frac{a+b}{2} text4 = â\frac{a+b}{2}â \frac{a+b}{2} text4 = â\frac{a+b}{2}â (x-a)(x-b) text5 = â(x-a)(x-b)â (x-a)(x-b) text5 = â(x-a)(x-b)â (x-a)(x-b) text5 = â(x-a)(x-b)â (x-a)(x-b) text5 = â(x-a)(x-b)â (x-a)(x-b) text5 = â(x-a)(x-b)â (x-a)(x-b) text5 = â(x-a)(x-b)â (x-a)(x-b) text5 = â(x-a)(x-b)â (x-a)(x-b) text5 = â(x-a)(x-b)â (x-a)(x-b) text5 = â(x-a)(x-b)â (x-a)(x-b) text5 = â(x-a)(x-b)â
図1 二次関数のイメージ.
x 軸と x=a,x=b で交わっていて,その中点 (a+b)/2 で積分領域を分割する.

良い性質をもつ実数値関数 $\varphi(x)$ に対し,$\int_{-\infty}^{\infty} \varphi(x) \delta \left((x-a)(x-b) \right) dx$ を計算する.

以下のように積分領域を分割する. \begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty} \varphi(x) \delta \left((x-a)(x-b) \right) dx=\left(\int_{-\infty}^{\frac{a+b}{2}} +\int_{\frac{a+b}{2}}^{\infty} \right)\varphi(x) \delta \left((x-a)(x-b) \right) dx \end{equation}

ここで t = (x-a)(x-b) すなわち $x= \frac{a+b}{2} \pm \sqrt{\frac{(a-b)^2}{4}+t}$ と置く.$dx = \pm dt/\sqrt{(a-b)^2 +4t}$ である.積分領域ごとに適した符号で置換する.

積分領域が $-\infty < x \le \frac{a+b}{2}$ のときは,$x= \frac{a+b}{2} - \sqrt{\frac{(a-b)^2}{4}+t}$ と置く.

よって,

\begin{align} \int_{-\infty}^{\frac{a+b}{2}} \varphi(x) \delta \left((x-a)(x-b) \right) dx &= \int_{\infty}^{-\frac{(a-b)^2}{4}} \varphi \left(\frac{a+b}{2} - \sqrt{\frac{(a-b)^2}{4}+t} \right) \delta (t) \frac{-dt}{\sqrt{(a-b)^2+4t}} \\ &= \int_{-\frac{(a-b)^2}{4}}^{\infty} \frac{\varphi \left(\frac{a+b}{2} - \sqrt{\frac{(a-b)^2}{4}+t} \right)}{\sqrt{(a-b)^2+4t}} \delta (t)dt \\ &= \frac{\varphi \left(\frac{a+b}{2} - \sqrt{\frac{(a-b)^2}{4}} \right)}{\sqrt{(a-b)^2}} \\ &= \frac{1}{b-a} \varphi(a) \end{align}

積分領域が $\frac{a+b}{2} \le x < \infty$ のときは,$x= \frac{a+b}{2} + \sqrt{\frac{(a-b)^2}{4}+t}$ と置く.

先ほどと同様にして,

\[ \int_{\frac{a+b}{2}}^{\infty} \varphi(x) \delta \left((x-a)(x-b) \right) dx = \frac{1}{b-a} \varphi(b) \]

と計算できる.よって式(3)は

\[\int_{-\infty}^{\infty} \varphi(x) \delta \left((x-a)(x-b) \right) dx= \frac{1}{b-a} [\varphi(a)+ \varphi(b)] \]

となる. 式(1)の右辺についても積分を調べれば同じ計算結果が得られる. □

公式(b)の証明

まずは式(2)の左辺のふるまいを調べよう.良い性質をもつ実数値関数 $\varphi(x)$ に対し,$\int_{-\infty}^{\infty} \varphi(x) \delta [f(x)]dx$ の計算をする.図2に簡単なイメージを示す.

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図2 f(x) = 0 のイメージ
$x$ 軸と $x=x_i$ で交わっていて,隣り合った交点との中点 $(x_{i-1}+x_i)/2$ で積分領域を分割する.

f(x) = 0 の n 個の解が $x_1 < x_2 < \cdots < x_n$ であるとする.以下のように積分領域を分割する.

\[\int_{-\infty}^{\infty} \varphi(x) \delta [f(x)]dx = \left(\int_{-\infty}^{\frac{x_1+x_2}{2}} + \int_{\frac{x_1+x_2}{2}}^{\frac{x_2+x_3}{2}}+\cdots +\int_{\frac{x_{n-1}+x_n}{2}}^{\infty} \right) \varphi(x) \delta [f(x)]dx\]

この積分領域の分割の仕方により,f(x) = 0 の解 $x_i$ が各積分領域にそれぞれ一つづつ存在している.その近傍において f(x) を一次近似する.

\begin{align} &\begin{split} &= \int_{-\infty}^{\frac{x_1+x_2}{2}}\varphi(x) \delta [f'(x_1)(x-x_1)]dx + \int_{\frac{x_1+x_2}{2}}^{\frac{x_2+x_3}{2}} \varphi(x) \delta [f'(x_2)(x-x_2)]dx +\cdots \\ &\quad + \int_{\frac{x_{n-1}+x_n}{2}}^{\infty} \varphi(x) \delta [f'(x_n)(x-x_n)]dx \end{split} \\ &\begin{split} &公式 \delta(ax)=|a|^{-1}\delta(x) より \\ &= \frac{1}{|f'(x_1)|}\int_{-\infty}^{\frac{x_1+x_2}{2}}\varphi(x) \delta (x-x_1)dx + \frac{1}{|f'(x_2)|}\int_{\frac{x_1+x_2}{2}}^{\frac{x_2+x_3}{2}} \varphi(x) \delta (x-x_2)dx +\cdots \\ &\quad + \frac{1}{|f'(x_n)|}\int_{\frac{x_{n-1}+x_n}{2}}^{\infty} \varphi(x) \delta (x-x_n)dx
\end{split} \\ &= \frac{1}{|f'(x_1)|}\varphi(x_1)+ \frac{1}{|f'(x_2)|}\varphi(x_2) +\cdots + \frac{1}{|f'(x_n)|}\varphi(x_n) \end{align}

となる.式(2)の右辺についても積分を調べれば同じ計算結果が得られる. □

コメント

公式(b)の証明では f(x) の1次近似を用いていてその精度が気になるところだが,これ以上の議論はよくわからないのでこの問題は残したままとなった. 公式(b)を用いて,公式(a)(こちらは厳密に成り立つ)も導かれるので,まあいいのかもしれない(?).詳しく解析学を勉強してみたいと思った.

参考サイト・文献

EMANの物理学・物理数学・デルタ関数