２つの群 X，Y について，
準同型写像 f : X → Y は単射 ⇔ Ker f = {0}
（0 は 単位元）
準同型写像 f : X → Y は単射 ⇔ Ker f = {0}
（0 は 単位元）
を示そう．
目次
f は単射 ⇒ Ker f = {0} の証明
f の準同型性より，∀x ∈ X に対し，f(x) = f(x+0) = f(x) + f(0) より f(0) = 0 である．
よって 0 ∈ Ker f である． つまりｆの準同型性から Ker f ≠ $\phi$ が保証される．
∀x ∈ Ker f に対し，f(x) = 0 = f(0) である．f の単射性より x = 0 である．
よって Ker f ＝ {0} である．
簡単なイメージ図を以下に示す．
Ker f = {0} ⇒ f は単射 の証明
∀x1,x2 ∈ X に対し，f(x1) = f(x2) とする．
ｆの準同型性より，f(x1 - x2) = f(x1) - f(x2) = 0 なので x1 - x2 ∈ Ker f である．
Ker f = {0} であるので x1 - x2 = 0 である．
よって x1 = x2 である．つまり f は単射である．
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