三浦と窮理とブログ

主に物理学・数学について自分が勉強してきたことについて書いていきます.誰かの役に立ってくれれば嬉しいです.

「準同型写像 f が単射である」ことと「 Ker f = {0} 」は同値であることの証明

2つの群 X,Y について,
準同型写像 f : X → Y は単射 ⇔ Ker f = {0}
(0 は 単位元)

を示そう.

目次

f は単射 ⇒ Ker f = {0} の証明

f の準同型性より,x ∈ X に対し,f(x) = f(x+0) = f(x) + f(0) より f(0) = 0 である.

よって 0 ∈ Ker f である. つまりfの準同型性から Ker f ≠ $\phi$ が保証される.

x ∈ Ker f に対し,f(x) = 0 = f(0) である.f の単射性より x = 0 である.

よって Ker f = {0} である.

簡単なイメージ図を以下に示す.

image/svg+xml f は準同型 Ker f ∋ 0 Ker f ⊂ {0} f は単射 Ker f = {0} Ker f = {0} または つまり Ker f ≠

Ker f = {0} ⇒ f は単射 の証明

x1,x2 ∈ X に対し,f(x1) = f(x2) とする.

fの準同型性より,f(x1 - x2) = f(x1) - f(x2) = 0 なので x1 - x2 ∈ Ker f である.

Ker f = {0} であるので x1 - x2 = 0 である.

よって x1 = x2 である.つまり f は単射である.



参考URL

準同型写像fに関してKer f =0 ⇔ f:単射は言えるでしょうか?どな... - Yahoo!知恵袋