三浦と窮理とブログ

主に自然科学について自分が勉強してきたことについて書いていきます.困っている誰かの役に立ちたいですし,そのためにもっと成長したいです.

ガウス波束の運動量表示とその不確定性

問題

ガウス波束の不確定性(位置と運動量のゆらぎの積)の計算 - 哲数物を学ぶ

上の記事の問題の設定において,運動量の確率密度を求め,図示せよ.位置と運動量の確率密度の幅から,不確定性関係を考察せよ.

解答

運動量固有状態の位置表示波動関数 \begin{equation} p(x) = \langle x | p \rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \exp \left(i\frac{px}{\hbar} \right) \end{equation} を用いて(これは位置表示と運動量表示の変換関数と呼ばれる.),位置表示の波動関数 $\psi (x) \equiv \langle x | \psi \rangle$ を運動量表示の波動関数 $\psi (p) \equiv \langle p | \psi \rangle$ に変換すると, \begin{equation} \psi (p) = \sqrt{\frac{\sigma}{\hbar \sqrt{\pi}}} \exp \left(- \frac{(p-k \hbar)^2\sigma^2}{2\hbar^2} \right) \end{equation} となる. ▶クリックで途中計算を開く

よって,運動量の確率密度は \begin{equation} |\psi(p)|^2 = \frac{\sigma}{\hbar \sqrt{\pi}} \exp \left(- \frac{(p-k \hbar)^2\sigma^2}{\hbar^2} \right) \end{equation} となる.

図は以下のようにガウス型となる.

é¢æ° ff(x) = â¯-x² ç¹ AA = (0, 1) ç¹ AA = (0, 1) ptext1 = âpâ |\psi|^2text2 = â|\psi|^2â |\psi|^2text2 = â|\psi|^2â |\psi|^2text2 = â|\psi|^2â |\psi|^2text2 = â|\psi|^2â \sqrt{\frac{\sigma}{\hbar \sqrt{\pi}}}text3 = â\sqrt{\frac{\sigma}{\hbar \sqrt{\pi}}}â \sqrt{\frac{\sigma}{\hbar \sqrt{\pi}}}text3 = â\sqrt{\frac{\sigma}{\hbar \sqrt{\pi}}}â \sqrt{\frac{\sigma}{\hbar \sqrt{\pi}}}text3 = â\sqrt{\frac{\sigma}{\hbar \sqrt{\pi}}}â \sqrt{\frac{\sigma}{\hbar \sqrt{\pi}}}text3 = â\sqrt{\frac{\sigma}{\hbar \sqrt{\pi}}}â \sqrt{\frac{\sigma}{\hbar \sqrt{\pi}}}text3 = â\sqrt{\frac{\sigma}{\hbar \sqrt{\pi}}}â \sqrt{\frac{\sigma}{\hbar \sqrt{\pi}}}text3 = â\sqrt{\frac{\sigma}{\hbar \sqrt{\pi}}}â \sqrt{\frac{\sigma}{\hbar \sqrt{\pi}}}text3 = â\sqrt{\frac{\sigma}{\hbar \sqrt{\pi}}}â \sqrt{\frac{\sigma}{\hbar \sqrt{\pi}}}text3 = â\sqrt{\frac{\sigma}{\hbar \sqrt{\pi}}}â k\hbartext4 = âk\hbarâ k\hbartext4 = âk\hbarâ

位置 $x$ の確率密度は , \begin{equation} |\psi(x)|^2 = \frac{1}{\sigma \sqrt{\pi}} \exp\left(- \frac{x^2}{\sigma^2} \right) \end{equation} 運動量$p$ の確率密度は , \begin{equation} |\psi(p)|^2 = \frac{\sigma}{\hbar \sqrt{\pi}} \exp \left(- \frac{(p-k \hbar)^2\sigma^2}{\hbar^2} \right) \end{equation} である.

これらの確率密度の正規分布としての分散はそれぞれ,$\frac{\sigma^2}{2}$ と $\frac{\hbar^2}{2\sigma^2}$ である.

これら2つの分散の積は $\frac{\hbar^2}{4}$ であり,これは最小不確定性の値である.すなわち,位置の分散と運動量の分散が不確定性関係を満たすことが考えられる.



参考文献

現代の量子力学(上) 第2版 (物理学叢書)

現代の量子力学(上) 第2版 (物理学叢書)

  • 作者: J.J.サクライ,J.ナポリターノ,J.J. Sakurai,Jim Napolitano,桜井明夫
  • 出版社/メーカー: 吉岡書店
  • 発売日: 2014/04/10
  • メディア: 単行本
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