問題
ガウス波束の不確定性(位置と運動量のゆらぎの積)の計算 - 哲数物を学ぶ
上の記事の問題の設定において,運動量の確率密度を求め,図示せよ.位置と運動量の確率密度の幅から,不確定性関係を考察せよ.
解答
運動量固有状態の位置表示波動関数
\begin{equation}
p(x) = \langle x | p \rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \exp \left(i\frac{px}{\hbar} \right)
\end{equation}
を用いて(これは位置表示と運動量表示の変換関数と呼ばれる.),位置表示の波動関数 $\psi (x) \equiv \langle x | \psi \rangle$ を運動量表示の波動関数 $\psi (p) \equiv \langle p | \psi \rangle$ に変換すると,
\begin{equation}
\psi (p) = \sqrt{\frac{\sigma}{\hbar \sqrt{\pi}}} \exp \left(- \frac{(p-k \hbar)^2\sigma^2}{2\hbar^2} \right)
\end{equation}
となる.
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\begin{align}
\psi(p) &= \langle p | \psi \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} dx \ \underbrace{\langle p | x \rangle}_{=\langle x | p \rangle ^*} \langle x | \psi \rangle \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} dx \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \exp \left(-i\frac{px}{\hbar} \right) \frac{1}{\sqrt{\sqrt{\pi}\sigma}} \exp \left(- \frac{x^2}{2\sigma^2}+ikx \right) \\
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar\sqrt{\pi}\sigma}} \int_{-\infty}^{\infty} dx \ \exp \left(\vphantom{\frac{x^2}{2\sigma^2}} \right. \underbrace{- \frac{x^2}{2\sigma^2}-i\left(\frac{p}{\hbar}-k\right)x}_{\substack{=-\frac{1}{2\sigma^2}\left(x^2 + i2\sigma^2 \frac{p-k\hbar}{\hbar}x \right) \\=-\frac{1}{2\sigma^2}\left(\left(x^2 + i\sigma^2 \frac{p-k\hbar}{\hbar} \right)^2 + \sigma^4\frac{(p-k\hbar)^2}{\hbar^2}\right)} } \left.\vphantom{\frac{x^2}{2\sigma^2}} \right) \\
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar\sqrt{\pi}\sigma}} \exp \left(-\frac{\sigma^2(p-k\hbar)^2}{2\hbar^2} \right)
\underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} dx \ \exp \left(-\frac{1}{2\sigma^2}\left(x^2 + i\sigma^2 \frac{p-k\hbar}{\hbar} \right)^2 \right)}_{=\sigma\sqrt{2\pi}} \\
&= \sqrt{\frac{\sigma}{\hbar \sqrt{\pi}}} \exp \left(- \frac{(p-k \hbar)^2\sigma^2}{2\hbar^2} \right)
\end{align}
よって,運動量の確率密度は
\begin{equation}
|\psi(p)|^2 = \frac{\sigma}{\hbar \sqrt{\pi}} \exp \left(- \frac{(p-k \hbar)^2\sigma^2}{\hbar^2} \right)
\end{equation}
となる.
図は以下のようにガウス型となる.
位置 $x$ の確率密度は ,
\begin{equation}
|\psi(x)|^2 = \frac{1}{\sigma \sqrt{\pi}} \exp\left(- \frac{x^2}{\sigma^2} \right)
\end{equation}
運動量$p$ の確率密度は ,
\begin{equation}
|\psi(p)|^2 = \frac{\sigma}{\hbar \sqrt{\pi}} \exp \left(- \frac{(p-k \hbar)^2\sigma^2}{\hbar^2} \right)
\end{equation}
である.
これらの確率密度の正規分布としての分散はそれぞれ,$\frac{\sigma^2}{2}$ と $\frac{\hbar^2}{2\sigma^2}$ である.
これら2つの分散の積は $\frac{\hbar^2}{4}$ であり,これは最小不確定性の値である.すなわち,位置の分散と運動量の分散が不確定性関係を満たすことが考えられる.
参考文献