問題

ポテンシャル V(r , t) 中の粒子の状態を記述するシュレーディンガー方程式を \[i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi (\boldsymbol{r},t) = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\boldsymbol{r},t) \right) \psi (\boldsymbol{r},t) \] とする．

質量 m の粒子の波動関数 ψ(r , t) にたいして，ρ(r , t) = ψ*(r , t) ψ(r , t) で確率密度を定義する．微小体積 dV を考えると ρ(r ,t) dV は，その体積中に粒子が存在する確率を表すことになる．確率密度の流れ j(r , t) を \[\boldsymbol{j} (\boldsymbol{r} , t) = \frac{\hbar}{2im}[\psi^{*} (\boldsymbol{r} ,t) \nabla \psi (\boldsymbol{r},t) - (\nabla \psi^{*}(\boldsymbol{r},t) )\psi(\boldsymbol{r},t) ]\] で定義したとき，次の問いにこたえなさい

(a) 確率密度 ρ(r , t) と確率の流れの密度 j(r , t) の間には連続の式の微分形が成り立つことを示せ．

(b) Σ を空間中の任意の閉曲面，Ω をその内部の領域，n を閉曲面の内側から外側へ向く単位法線ベクトルとするとき，次の等式を導け． \[\frac{\partial}{\partial t}\int_\Omega \rho(\boldsymbol{r} ,t) dV = - \int_\Omega \nabla \cdot \boldsymbol{j} (\boldsymbol{r},t) dV = - \int_\Sigma \boldsymbol{j}\cdot \boldsymbol{n} dS \] これは連続の式の積分形である．

(c) ここで用いた ρ(r , t) と j(r , t) の物理的な意味を説明せよ．

(a)の解答

確率密度の連続の式 $\nabla \cdot \boldsymbol{j} + \frac{\partial \rho}{\partial t}=0$ を示す．

シュレディンガー方程式 \[i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi (\boldsymbol{r},t) = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi (\boldsymbol{r},t)+V(\boldsymbol{r},t) \psi (\boldsymbol{r},t) \] の両辺の左から ψ*(r , t) をかけると，

\begin{align} i\hbar \!\!\!\!\!\!\!\!\! \underbrace{\psi^* \frac{\partial}{\partial t} \psi}_{\qquad =\frac{\partial}{\partial t}(\underbrace{\psi^*\psi}_{=\rho})-\psi \frac{\partial}{\partial t} \psi^*} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! &= -\frac{\hbar^2}{2m}\psi^*\left(\nabla^2 \psi\right)+\psi^*V \psi \\ \Leftrightarrow \quad \frac{\partial}{\partial t} \rho &= -\frac{\hbar}{2im}\psi^*\left(\nabla^2 \psi\right)+\frac{1}{i\hbar}\psi^*V \psi + \psi \frac{\partial}{\partial t} \psi^* \end{align}

となる．一方，

\begin{align} \nabla \cdot \boldsymbol{j} &= \frac{\hbar}{2im}[\nabla\cdot(\psi^{*}\nabla \psi) - \nabla\cdot\{(\nabla \psi^{*} )\psi\} ] \\ &= \frac{\hbar}{2im}\left[\cancel{(\nabla\psi^{*})\cdot(\nabla \psi)} + \psi^{*} (\nabla^2 \psi) - (\nabla^2 \psi^{*} )\psi-\cancel{(\nabla\psi^{*})\cdot(\nabla \psi)}\ \right] \\ &= \frac{\hbar}{2im}\psi^{*} (\nabla^2 \psi) -\frac{\hbar}{2im}(\nabla^2 \psi^{*} )\psi \end{align}

となる．シュレーディンガー方程式の両辺の複素共役をとると， \[-i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi^{*} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi ^{*}+V \psi ^{*} \] である．この式の両辺の左から ψ(r , t) をかけると， \begin{equation} -i\hbar \psi\frac{\partial}{\partial t} \psi^{*} = -\frac{\hbar^2}{2m}\psi\left(\nabla^2 \psi ^{*}\right)+\psi V \psi ^{*} \end{equation} となる．式(5) の右辺第2項に式(6) の右辺第1項を代入すると， \begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{j} = \frac{\hbar}{2im}\psi^{*}\left(\nabla^2 \psi\right)- \psi \frac{\partial}{\partial t} \psi^* - \frac{1}{i\hbar}\psi^*V \psi \end{equation} となる．式(2) と式(7) を足すと， \[\nabla \cdot \boldsymbol{j} + \frac{\partial \rho}{\partial t}=0\] が得られる．

(b)の解答

連続の式より， \begin{equation} \frac{\partial \rho}{\partial t}=- \nabla \cdot \boldsymbol{j} \end{equation} である．両辺を Ω 上で積分すると，左辺はガウスの発散定理を用いて， \begin{align} \int_\Omega \frac{\partial \rho}{\partial t} dV &=-\int_\Omega \nabla \cdot \boldsymbol{j} dV \\ \Leftrightarrow \quad \frac{\partial}{\partial t}\int_\Omega \rho(\boldsymbol{r} ,t) dV &= - \int_\Sigma \boldsymbol{j}\cdot \boldsymbol{n} dS \end{align} となる．

(c)の解答

確率密度 ρ(r , t) はある時刻 t に粒子が位置 r に存在する確率を表している．

確率流密度 j(r , t) について，これは定義より $\boldsymbol{j} (\boldsymbol{r},t) = \frac{\hbar}{m} \mathrm{Im}[\psi^{*} \nabla \psi]$ である (Im[ ] は引数の虚部をとる関数)．

この量は波動関数の位相の空間変化と関係がある．例えば，位相が θ(r , t) という関数である波動関数が $\psi(\boldsymbol{r} , t) = \sqrt{\rho(\boldsymbol{r} , t)} \exp (i \theta (\boldsymbol{r} , t))$ と表されるとすると， \begin{equation} \psi^{*} \nabla \psi = \sqrt{\rho} \exp (-i \theta)\left(\left(\nabla \sqrt{\rho}\right) \exp (i \theta) + \sqrt{\rho} i \left(\nabla \theta\right) \exp (i \theta)\right) = \sqrt{\rho} \left(\nabla \sqrt{\rho} \right)+i \rho \nabla \theta \end{equation} であるので $\boldsymbol{j} (\boldsymbol{r},t) = \frac{\hbar}{m} \rho \nabla \theta$ である．つまり確率流密度 j は波動関数の位相の空間変化(勾配)に比例した量である．

参考文献