ポテンシャルの存在しない ( V(x,t) = 0 ) 空間における1次元自由粒子について考える．
目次
シュレディンガー方程式の変数分離
V = 0 のときのシュレディンガー方程式は \begin{equation} i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(x,t) = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial}{\partial x} \psi(x,t) \label{eq:shre} \end{equation} である．この式を変数 x と t に対して変数分離をする．
$\psi(x,t)=\phi_1(t) \phi_2(x)$ と表し，式\eqref{eq:shre} に代入すると，
\begin{align} i\hbar \frac{\partial}{\partial t} (\phi_1(t) \phi_2(x) )&= -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} (\phi_1(t) \phi_2(x) )\\ \Leftrightarrow \quad i\hbar \phi_2(x) \frac{\partial \phi_1(t)}{\partial t}&= -\frac{\hbar^2}{2m} \phi_1(t)\frac{\partial^2 \phi_2(x)}{\partial x^2} \end{align} となる．両辺を $\phi_1(x) \phi_2(t)$ で割り，分離定数 E を用いると，（分離定数については参考*1） \begin{align} i\hbar \frac{1}{ \phi_1(t)} \frac{\partial \phi_1(t)}{\partial t}= -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{1}{\phi_2(x)}\frac{\partial ^2 \phi_2(x)}{\partial x^2} \equiv E \end{align} となり独立な2つの常微分方程式 \begin{align} i\hbar \frac{\partial \phi_1(t)}{\partial t} &=E \phi_1(t) \label{eq:solt}\\ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial ^2 \phi_2(x)}{\partial x^2} &=E\phi_2(x) \label{eq:solx} \end{align} が得られる．
定常解
E > 0 の場合の定常解を求めよう．
式 $\eqref{eq:solt} \ ,\ \eqref{eq:solx}$ の一般解はそれぞれ， \begin{align} \phi_1(t) &= C_1 \exp\left(-i\frac{E}{\hbar} t \right) \\ \phi_2(x) &= C_2 \exp\left(i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} x \right) + C_3 \exp\left(-i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} x \right) \end{align} となる (C1 , C2 , C3 は任意定数)． よって， \begin{equation} \psi(x,t)=\phi_1(t) \phi_2(x) = C_1 \exp\left(-i\frac{E}{\hbar} t \right) \left\{C_2 \exp\left(i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} x \right) + C_3 \exp\left(-i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} x \right) \right\} \end{equation} である．$\omega \equiv E/\hbar ~,~ k\equiv \sqrt{2mE}/\hbar ~,~ A \equiv C_1 C_2 ~,~ B\equiv C_1 C_3$ とすると， \begin{equation} \psi(x,t)= A e^{i(kx-\omega t)} + Be^{-i(kx+\omega t)} \end{equation} となる．
確率密度と確率流密度
確率密度 ρ と確率流密度 j を計算しよう．*2
確率密度 ρ は \begin{align} \rho &= \psi^{*} \psi = (A^{*} e^{-i(kx-\omega t)} + B^{*} e^{i(kx+\omega t)})(A e^{i(kx-\omega t)} + Be^{-i(kx+\omega t)}) \\ &= |A|^2 + A^{*} B e^{-i2kx} +B^{*} A e^{i2kx} +|B|^2 = |A|^2 +|B|^2 + 2\mathrm{Re} \left[A^{*} B e^{-i2kx} \right] \end{align} となる．一方，確率流密度 j は \begin{align} \psi^{*} \frac{\partial \psi}{\partial x} &= (A^{*} e^{-i(kx-\omega t)} + B^{*} e^{i(kx+\omega t)}) (ikA e^{i(kx-\omega t)} -ik Be^{-i(kx+\omega t)}) \\ &= ik|A|^2 \underbrace{-ik A^{*} B e^{-i2kx} +ikB^{*} A e^{i2kx}}_{=-ik\underbrace{(A^{*} B e^{-i2kx} -B^{*} A e^{i2kx})}_{=2i\mathrm{Im} [A^{*} B e^{-i2kx}]}} -ik|B|^2 = ik(|A|^2 -|B|^2 )+ 2k\mathrm{Im} \left[A^{*} B e^{-i2kx} \right] \end{align} より， \begin{align} j = \frac{\hbar}{m} \mathrm{Im} \left[\psi^{*} \frac{\partial \psi}{\partial x} \right] = \frac{\hbar k}{m}(|A|^2 -|B|^2 ) \end{align} となり，j は x にも t にもよらない定常流である．
分散関係
k と ω の定義より， \begin{align} k^2 &= \frac{2mE}{\hbar^2} = \frac{2m}{E} \frac{E^2}{\hbar^2} = \frac{2m}{E} \omega^2 \\ \therefore ~ \frac{\omega}{k} &= \sqrt{\frac{E}{2m}} \end{align} である．
参考文献
