三浦と窮理とブログ

主に物理学・数学について自分が勉強してきたことについて書いていきます.誰かの役に立ってくれれば嬉しいです.

球対称な時空の計量の微分形式を用いた導出

あるまとまった領域に質量 m と電荷 Q が存在し,その周りに球対称な部分空間が形成された時空の計量は \begin{equation} ds^2 = - \left(1- \frac{2m}{r} +\frac{Q^2}{r^2} - \frac{1}{3}\Lambda r^2 \right)dt^2 +\left(1- \frac{2m}{r} +\frac{Q^2}{r^2} - \frac{1}{3}\Lambda r^2 \right)^{-1}dr^2 +r^2 (d \theta^2 + \sin^2 \theta d \phi^2) \label{eq:met} \end{equation} となる.t は時間座標,r は中心からの距離,θ は天頂角,$\phi$ は方位角である.宇宙定数 Λ も考慮している.単位系は幾何学単位系 c = G = 1 を使う.

この解は,m ≠ 0 ,Q = 0 ,Λ = 0 のときはシュバルツシルト時空を表している.他にも m ≠ 0 ,Q ≠ 0 ,Λ = 0 のときはライスナー・ノルドシュトロム時空を表している.

また,球対称な時空は静的であるというバーコフの定理が見いだされる.

計量 $\eqref{eq:met}$ を導出しよう.

議論は時空が球対称性をもつという仮定から始める.このとき計量は

\begin{equation} ds^2 = - e^{2\nu(t,r)}dt^2 +e^{2\lambda(t,r)}dr^2 +r^2 (d \theta^2 + \sin^2 \theta d \phi^2) \label{eq:sphemet} \end{equation}

と表される.ν(t,r) , λ(t,r) は t と r の任意関数.(参考*1

この計量からアインシュタインテンソルを求め,アインシュタイン方程式をみたす関数 e2ν(t,r) , e2λ(t,r) を求める.

接続係数や曲率テンソルを求める公式があり機械的に計算することができるがそれは手計算するにはとても大変なものである.ここでは接続係数を求める際,リーマン接続の条件を上手く用いて,発見法的ではあるが少し計算が簡単になる方法で求めよう.曲率テンソルを求めるときも少し簡単になる.参考*2

相対論でよく用いられているテンソルの自然座標基底の成分による解析ではなく,抽象的なテンソルそのものを用いた解析方法は座標系にまったく依らない方法を提示してくれる.そのおかげで自由に座標系を設定することができる.たとえば正規直交座標系を選べば,添え字の上げ下げがミンコフスキー時空と同じように行えるので簡単になる.

目次

$\def\pounds{{\it\unicode{xA3}}}$

記法

アインシュタインの規約 $v_i v^i \equiv \sum_i v_iv^i$

ミンコフスキー時空の計量 ds2 = ηabdxa dxb = - dt2 + dx2 + dy2 +dz2

ベクトル場 X に沿った共変微分演算子 ∇X

ベクトル場 X に沿ったリー微分演算子 £X

外微分演算子 d

括弧積 [X,Y] = XY - YX

関数の時間微分 $\frac{\partial}{\partial t}$ をドット「 $\dot{}$ 」で表し,動径座標での微分 $\frac{\partial}{\partial r}$ をダッシュ「 ' 」で表すとする.

数学的準備

接続形式・捩率形式・曲率形式

ベクトル場 X , Y,基底 ea ,その双対基底 ωa に対し,

\begin{equation} \nabla_X e_a = ({\omega^b}_a (X))e_b \quad \Leftrightarrow \quad \nabla_X \omega^a = - ({\omega^a}_b (X)) \omega^b \end{equation}

で定義される1形式 ωba接続形式という. ▶クリックで ⇒ の証明を開く

また曲率テンソル $\mathcal{R}$ と捩率テンソル $\Theta$ に対して

\begin{align} \mathcal{R}(X,Y)Z &= (\mathcal{R}(X,Y)Z) ^a e_a =( (\mathcal{R}(X,Y) )_b Z^b)^a e_a =( (\mathcal{R}(X,Y) )_b)^a Z^b e_a \equiv {\mathcal{R}^a}_b (X,Y) Z^b e_a\\ \Theta(X,Y) & \equiv \Theta^a (X,Y) e_a \end{align}

で定義される2形式 ${\mathcal{R}^a}_b$,$\Theta^a$ をそれぞれ曲率形式捩率形式とよぶ.これらは展開すれば,

\begin{equation} {\mathcal{R}^a}_b = \frac{1}{2} {R^a}_{bcd} \omega^c \wedge \omega^d \quad,\quad \Theta^a = \frac{1}{2} {\Theta^a}_{cd} \omega^c \wedge \omega^d \end{equation}

と表される.また,以下のような公式がある.

\begin{equation} {\mathcal{R}^a}_b = d{\omega^a}_b+{\omega^a}_c \wedge {\omega^c}_b \quad,\quad \Theta^a =d{\omega^a}+{\omega^a}_b \wedge {\omega^b} \end{equation}

リーマン接続

一般相対性理論では以下の接続をあたえた時空モデルを仮定している. \begin{align} \nabla g = 0 \\ \Theta = 0 \end{align} この接続をリーマン接続という.テンソルの成分で表すと,

\begin{align} dg_{ab}-\omega_{ab}-\omega_{ba}=0 \label{eq:metcondition}\\\ d\omega^a=-{\omega^a}_{b}\wedge\omega^b \label{eq:torsioncondition} \end{align}

と表される. ▶クリックで式 $\eqref{eq:metcondition}$ の証明を開く

アインシュタインテンソル

アインシュタインテンソルの定義は曲率テンソルの成分をもちいて

\begin{equation} G_{\mu \nu} = R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R \end{equation} と表される.ここでは成分を計算しやすいように \begin{equation} {G^\mu}_\nu = {R^{a \mu}}_{a \nu} - \frac{1}{2} {\delta^\mu}_\nu {R^{bc}}_{bc} \end{equation} として計算する.実際にいくつかの成分を書き表すと \begin{align} {G^0}_0 &= -{R^{12}}_{12}-{R^{23}}_{23}-{R^{31}}_{31} \label{G00} \\ {G^1}_1 &= -{R^{02}}_{02}-{R^{23}}_{23}-{R^{03}}_{03} \\ {G^0}_1 &= {R^{20}}_{21}+{R^{30}}_{31} \\ {G^0}_2 &= {R^{10}}_{13}+{R^{20}}_{23} \end{align}

というようになる.他の成分も必要に応じて計算する.

アインシュタイン方程式

本記事では高々電磁場を重力源とするアインシュタイン方程式の真空解をもとめる.ここでは計算の簡単のためにアインシュタイン方程式 Gab + Λ gab = 8 π Tab を \begin{align} {G^a}_b =8\pi \left({T^a}_b - \frac{\Lambda}{8\pi} {\delta^a}_b \right) \label{eq:Ein} \end{align} として扱う.電磁場テンソルを F とするとエネルギー運動量テンソル T は,

\begin{equation} {T^a}_b = \frac{1}{4\pi}({F^a}_c{F_b}^c-\frac{1}{4}{\delta^a}_b F_{cd} F^{cd}) \label{eq:emtensor} \end{equation}

と表される.

アインシュタインテンソルの計算

接続形式 → 曲率テンソル → アインシュタインテンソル の順に求めていこう.

簡単のために正規直交基底

\begin{equation} e_0= e^{-\nu}\frac{\partial}{\partial t} \quad,\quad e_1= e^{-\lambda} \frac{\partial}{\partial r} \quad,\quad e_2 = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \quad,\quad e_3 = \frac{1}{r \sin\theta}\frac{\partial}{\partial \phi} \end{equation}

を用いる.この基底に対する双対基底は

\begin{align} \omega^0 = e^\nu dt \quad,\quad \omega^1 = e^\lambda dr \quad,\quad \omega^2 = r d\theta \quad,\quad \omega^3 = r\sin \theta d\phi \end{align}

である. この基底をもちいることで計量 $\eqref{eq:sphemet}$ は ds2 = ηab dxa dxb と表される.よって式 $\eqref{eq:metcondition}$ より \begin{align} &\underbrace{d\underbrace{g_{ab}}_{=\eta_{ab}}}_{=0}-\omega_{ab}-\omega_{ba}=0 \\ \Leftrightarrow \quad & \omega_{ab}= - \omega_{ba} \end{align} であるから独立な接続形式は6 つである.次に式 $\eqref{eq:torsioncondition}$ をみたす接続形式 ωab を見つけていく.

例えば,第0成分について,

\begin{align} d\omega^0 &=d(e^\nu dt) = d(e^\nu) \wedge dt =\nu' e^\nu dr \wedge dt= -\nu' e^{-\lambda} \omega ^0 \wedge \omega ^1 \\ -{\omega^0}_{b}\wedge\omega^b &= -\underbrace{{\omega^0}_{0}\wedge\omega^0}_{=0} -{\omega^0}_{1}\wedge\omega^1-{\omega^0}_{2}\wedge\omega^2-{\omega^0}_{3}\wedge\omega^3 \end{align}

であるから,式 $\eqref{eq:torsioncondition}$ をみたす解として,

\begin{equation} {\omega^0}_{1}-\nu' e^{-\lambda} \omega ^0 = 0 または \propto \omega^1 \quad,\quad {\omega^0}_{2} =0 または \propto \omega^2 \quad,\quad {\omega^0}_{3} =0 または \propto \omega^3 \end{equation}

が考えられる.同様にして他の成分についても検討すると,

\begin{align} {\omega^1}_{0}-\dot{\lambda} e^{-\nu} \omega ^1 = 0 または \propto \omega^0 &&,&& {\omega^1}_{2} =0 または \propto \omega^2 &&,&& {\omega^1}_{3} =0 または \propto \omega^3\\ {\omega^2}_{1}-\frac{e^{-\lambda}}{r} \omega ^2 = 0 または \propto \omega^1 &&,&& {\omega^2}_{0} =0 または \propto \omega^0 &&,&& {\omega^2}_{3} =0 または \propto \omega^3 \\ {\omega^3}_{1}-\frac{e^{-\lambda}}{r} \omega ^3 = 0 または \propto \omega^1 &&,&& {\omega^3}_{2}- \frac{\cot \theta}{r}\omega ^3=0 または \propto \omega^2 &&,&& {\omega^3}_{0} =0 または \propto \omega^0 \end{align}

となることがわかる.

以上をみたす解は

\begin{align} {\omega^1}_{0} &= \nu' e^{-\lambda} \omega ^0+\dot{\lambda} e^{-\nu} \omega ^1 \label{conn10} \\ {\omega^0}_{2} &= {\omega^0}_{3} =0 \\ {\omega^2}_{1} &= \frac{e^{-\lambda}}{r} \omega ^2 \\ {\omega^3}_{1} &= \frac{e^{-\lambda}}{r} \omega ^3 \\ {\omega^3}_{2} &= \frac{\cot \theta}{r}\omega ^3 \end{align}

である.のちの計算のためにこの接続形式の外微分も求めておく.

\begin{align} d{\omega^1}_{0} &= \left\{(\nu'' - \nu' \lambda' - {\nu'} ^2)e^{-2\lambda}-(\ddot{\lambda} - \dot{\nu} \dot{\lambda} +\dot{\lambda}^2)e^{-2\nu} \right\} \omega^1 \wedge \omega ^0 \\ d{\omega^2}_{1} &= -\frac{\dot{\lambda}}{r} e^{-\lambda-\nu} \omega^0 \wedge \omega^2 - \frac{\lambda'}{r} e^{-2\lambda} \omega^1 \wedge \omega^2 \\ d{\omega^3}_{1} &= -\frac{\dot{\lambda}}{r} e^{-\lambda-\nu} \omega^0 \wedge \omega^3 - \frac{\lambda'}{r} e^{-2\lambda} \omega^1 \wedge \omega^3 +\frac{e^{-\lambda}}{r^2} \cot \theta \omega^2 \wedge \omega^3\\ d{\omega^3}_{2} &= -\frac{1}{r^2}\omega ^2 \wedge \omega^3 \end{align}

求めた接続形式からアインシュタインテンソルの計算に必要な曲率形式 ${\mathcal{R}^a}_b = d{\omega^a}_{b}+{\omega^a}_{c}\wedge{\omega^c}_{b}$ を計算する.例えば ${G^0}_0$ を計算するために式 $\eqref{G00}$ より ${\mathcal{R}^1}_2 \ ,\ {\mathcal{R}^2}_3 \ ,\ {\mathcal{R}^3}_1$ を求めればよいことがわかる.

\begin{align} {\mathcal{R}^1}_2 &= d{\omega^1}_{2} + {\omega^1}_{a} \wedge {\omega^a}_{2} =- d{\omega^2}_{1} + {\omega^1}_{0} \wedge {\omega^0}_{2} + {\omega^1}_{3} \wedge {\omega^3}_{2} \\ &= \frac{\dot{\lambda}}{r} e^{-\lambda-\nu} \omega^0 \wedge \omega^2 + \frac{\lambda'}{r} e^{-2\lambda} \omega^1 \wedge \omega^2 \end{align}

より

\begin{equation} {R^{12}}_{12} = \frac{\lambda'}{r} e^{-2\lambda} \end{equation}

である.同様に,

\begin{equation} {R^{23}}_{23} = \frac{1}{r^2}\left(1- e^{-2\lambda} \right) \ , \ {R^{31}}_{31} = \frac{\lambda'}{r} e^{-2\lambda} \end{equation}

であるので式\eqref{G00} より

\begin{equation} {G^0}_0 = -\frac{1}{r^2} + e^{-2\lambda}\left(\frac{1}{r^2}-2\frac{\lambda'}{r}\right) \end{equation}

が求められる.同様に他のアインシュタインテンソルの成分も計算するとゼロでない成分として上の ${G^0}_0$ とさらに以下の成分が得られる.

\begin{align} {G^1}_1 &= -\frac{1}{r^2} + e^{-2\lambda}\left(\frac{1}{r^2}+2\frac{\nu'}{r}\right) \\ {G^0}_1 &= -2\frac{\dot{\lambda}}{r} e^{-\lambda - \nu}\\ {G^2}_2 &= {G^3}_3 = -\frac{\lambda'-\nu'}{r} e^{-2\lambda}-e^{-2\nu}(\ddot{\lambda}- \dot{\nu} \dot{\lambda}+\dot{\lambda}^2)+e^{-2\lambda}(\nu'' - \nu' \lambda' - {\nu'} ^2) \end{align}

球対称な電磁波テンソルの導出

電磁場テンソルの形を求める.

次に球対称な電磁場テンソルを求める.一般に電磁場テンソル F はその反対称性から

\begin{equation} F =E\omega^0\wedge\omega^1 + F_{IP}\omega^I \wedge \omega^P + B \omega^2 \wedge \omega^3 \ ,\ ただし,I = 0または1 \ ,\ P=2または3 \end{equation}

とあらわされる.今考えている球対称な2次元部分空間のキリングベクトルを ξ ≡ ξ2(θ,$\phi$) ∂23(θ,$\phi$) ∂3 とすると,双対基底の ξ によるリー微分は

\begin{equation} \pounds_\xi \omega^I =0 \ ,\ \pounds_\xi \omega^P ={A^P}_Q\omega^Q \ ,\ ただしQ=2または3 \end{equation}

である.この APQ は AQP = - APQ をみたす. ▶クリックで証明を開く

よって電磁場テンソル F が球対称であるという条件 £ξ F = 0 は

\begin{equation} ( \xi E) \omega^0\wedge\omega^1 + (\xi F_{IP}+F_{IQ} {A^Q}_P) \omega^I \wedge \omega^P + (\xi B) \omega^2 \wedge \omega^3 =0 \end{equation}

となる. ▶クリックで途中計算を開く

よって E , B は ξE = ξB = 0 より E(t,r) , B(t,r) という関数となる.この式は時空上の任意の点と任意のキリングベクトル場に対して成り立っていて,更にキリングベクトル場 ξ は等長変換群と対応していることから,とある点 p での単位元(恒等変換)に対応して ξp = 0 とできる.よって,$0=\xi_p (F_{IP})_p+(F_{IQ})_p ({A^Q}_P)_p=(F_{IQ})_p ({A^Q}_P)_p$ から両辺に ${({A^Q}_P)_p}^{-1}$ をかけることで $F_{IQ}=0$ が得られる.よって球対称な電磁場テンソルは

\begin{equation} F =E(t,r) \omega^0\wedge\omega^1 + B(t,r) \omega^2 \wedge \omega^3 \end{equation}

となる.

マクスウェル方程式の真空解を求める.

真空でのマクスウェル方程式は dF = 0 , d★F = 0 である.

第一式より,

\begin{equation} \partial_0 B =0 \quad ,\quad \partial_1 B+ \frac{2}{r}B =0 \end{equation}

をえる. ▶クリックで途中計算を開く

これから,$B = \frac{Q_m}{r^2}$ となる. ▶クリックで途中計算を開く

d★F = 0 でも同様に,$E = \frac{Q_e}{r^2}$ を得る. ▶クリックで途中計算を開く *3

よって球対称な電磁場テンソルは

\begin{equation} F =\frac{Q_e}{r^2} \omega^0\wedge\omega^1 + \frac{Q_m}{r^2} \omega^2 \wedge \omega^3 \label{eq:elemagtensro} \end{equation}

となる.

アインシュタイン方程式を解く.

最後に,高々電磁場を重力源とするアインシュタイン方程式 $\eqref{eq:Ein}$ の真空解をもとめる.

式 $\eqref{eq:elemagtensro}$ より電磁場テンソルの成分は,

\begin{align} F_{01} &=\frac{Q_e}{r^2}=-F_{10}=-{F^0}_1 = -{F^1}_0=-F^{01}=F^{10}={F_0}^1={F_1}^0 \\ F_{23} &=\frac{Q_m}{r^2}=-F_{32}={F^2}_3 = -{F^3}_2=F^{23}=-F^{23}={F_2}^3=-{F_3}^2 \end{align}

である.

電磁場によるエネルギー運動量テンソル T は,

\begin{equation} {T^a}_b = \frac{1}{4\pi}( {F^a}_c {F_b}^c + \frac{1}{2}{\delta^a}_b \frac{{Q_e} ^2 - {Q_m} ^2}{r^4} ) \end{equation}

である. ▶クリックで途中計算を開く

アインシュタインテンソル Gab のゼロではない成分 (a,b) = (0,0) , (1,1) , (2,2) , (3,3) , (0,1) 成分について Tab も書き下すと,

\begin{align} {T^0}_0 &= {T^1}_1 = \frac{1}{4\pi}(-\frac{{Q_e}^2}{r^4} + \frac{{Q_e} ^2 - {Q_m} ^2}{2r^4}) =-\frac{Q^2}{8\pi r^4} \quad (\because Q \equiv {Q_e} ^2 + {Q_m} ^2)\\ {T^2}_2 &= {T^3}_3 = \frac{Q^2}{8\pi r^4}\\ {T^0}_1 &= 0 \end{align}

となる.以上のことから方程式 $\eqref{eq:Ein}$ の各成分を計算していく.

まず(0,1)成分の方程式より,λ = λ(r) となることがわかる. ▶クリックで途中計算を開く

つぎに(0,0)成分の方程式と(1,1)成分の方程式の両辺の差をとると右辺が0となることから,

\begin{equation} \lambda + \nu = A(t) \quad (tの関数) \label{eq:Avanish} \end{equation}

となる. ▶クリックで途中計算を開く

ここで A(t) は消すことができるので ν = - λ である. ▶クリックで詳細を開く

このとき(1,1)成分の方程式より,

\begin{equation} e^{2\nu} = 1 + \frac{Q^2}{r^2} - \frac{\Lambda}{3} r^2 + \frac{C}{r} \end{equation}

が求まる. ▶クリックで途中計算を開く

定数 C は Q = 0 , Λ = 0 , r → ∞ のときの弱い重力場でニュートン近似を行うことで求められる.つまり,重力源のもつ質量を m とすると,

\begin{equation} e^{2\nu} \simeq 1+ \frac{C}{r} = 1- \frac{2m}{r} \end{equation}

より,C = - 2m となる.

以上のことより,球対称な2次元部分空間をもつ時空の計量は

\begin{equation} ds^2 = - \left(1- \frac{2m}{r} +\frac{Q^2}{r^2} - \frac{1}{3}\Lambda r^2 \right)dt^2 +\left(1- \frac{2m}{r} +\frac{Q^2}{r^2} - \frac{1}{3}\Lambda r^2 \right)^{-1}dr^2 +r^2 (d \theta^2 + \sin^2 \theta d \phi^2) \end{equation}

となり,静的な時空であることがわかる.

参考文献

*1:

一般相対性理論【現代物理学叢書】 (岩波オンデマンドブックス)

一般相対性理論【現代物理学叢書】 (岩波オンデマンドブックス)

*2:

重力理論  Gravitation-古典力学から相対性理論まで、時空の幾何学から宇宙の構造へ

重力理論  Gravitation-古典力学から相対性理論まで、時空の幾何学から宇宙の構造へ

*3:ミンコフスキー空間上の微分形式 [物理のかぎしっぽ]