2次元球面 S² のKillingベクトル場の導出

半径が a の2次元球面 S² の計量は

ds² = a²( dθ² + sin²θ d$\phi$² )

a：定数，0 ≤ θ ≤ π ，0 ≤ $\phi$ < 2π ．

である．

この空間のKillingベクトル場は

\begin{align} K_1 &= \frac{\partial}{\partial \phi} \label{eq:K1} \\ K_2 &= \cos \phi \frac{\partial}{\partial \theta} - \cot \theta \sin \phi \frac{\partial}{\partial \phi} \label{eq:K2} \\ K_3 &= -\sin \phi \frac{\partial}{\partial \theta} - \cot \theta \cos \phi \frac{\partial}{\partial \phi} \label{eq:K3} \end{align}

である　

このベクトル場は SO(3) の変換群となっている． このKillingベクトル場を一般の形で導出しよう． $\def\pounds{{\it\unicode{xA3}}}$

目次

記法

x¹ = θ , x² = $\phi$ として表す．テンソルの添え字に使うギリシャ文字は 1,2 のいずれかを表す．

∂_μ := $\frac{\partial}{\partial x^\mu}$

アインシュタインの総和の規約を用いる．

￡ はLie微分演算子

∇ は共変微分演算子

等長変換

擬Riemann多様体 (M,g) に対して計量 g を保存する変換 f : M → M を多様体 M の等長変換と呼ぶ（i.e. 点 x ∈ M での計量テンソル g_x に対し g_f(x) = g_x (⇔ g_x = g_f^-1(x)) )．計量が保存されるという条件はベクトルの内積が保存されるということであり，等長変換は測地線をその変換後の時空の測地線に写す．

2つの等長変換 f₁ , f₂ の合成 f₁ ◦ f₂ はまた等長変換となる（∵ g_{f1 ◦ f2(x)} = g_{f1( f2(x) )} = g _f2(x) = g_x ）．また，等長変換 f の逆変換も等長変換となる（∵ g_f^-1(x) = g_x ）．以上から，等長変換の全体は恒等変換を単位元とする群をなすことが言える．この群のことを擬Riemann多様体 (M,g) の等長変換群とよぶ．たとえば，n 次元Euclid空間 Eⁿ（つまり正定計量の平坦空間）の等長変換は { 並進・回転・反転 } の全体からなるEuclid運動群 E(n) であり，n次元Minkowski時空（つまり不定計量の平坦時空）の等長変換は { Lorentzブースト・空間回転・並進 } の全体からなるPoincaré群 $\mathcal{P} (n)$ である．等長変換群を生成する無限小変換を調べることにより群の構造をくわしく調べることができる．

Killingベクトル場とKilling方程式

いま，f_λ を λ をパラメータとした多様体 (M,g) の等長変換群，その無限小変換を X ( ≡ df_λ / dλ ) とする．g_fλ(x) = g_x より，計量 g のLie微分は

\begin{equation} \pounds_X g=\lim_{\lambda \to 0} \frac{g_{f_\lambda(x)}-g_x}{\lambda}=\lim_{\lambda \to 0} \frac{g_x-g_x}{\lambda} =0 \end{equation}

である．逆に，￡_X g = 0 ならば，g_fλ(x) のパラメータ λ に対する変化量は

\begin{equation} \frac{d}{d\lambda}g_{f_\lambda (x)}=\lim_{\Delta \lambda \to 0} \frac{g_{f_{\Delta \lambda+\lambda}(x)}-g_{f_\lambda(x)}}{\Delta\lambda}= \left(\lim_{\Delta \lambda \to 0} \frac{g_{f_{\Delta \lambda}(x)}-g_x}{\Delta\lambda} \right)_{f_\lambda (x)}=(\pounds_X g)_{f_\lambda (x)}=0 \end{equation}

であるから g_fλ(x) = g_x．すなわち f_λ は等長変換となる．したがって，等長変換群と ￡_X g = 0 をみたすベクトル場 X とは1対1に対応する．つまり，このベクトル場は空間の対称な変換と1対1で対応して考えることができる．このベクトル場 X をKillingベクトル場とよぶ．

また，Riemann接続において捩率テンソル Θ はゼロであるので Θ の定義より，￡_X Y = [ X,Y ] = ∇_XY - ∇_YXである*1 ．このことから任意のベクトル場 X,V,W に対し，

\begin{equation} (\pounds_X g)(V,W) = V^\mu W^\nu ( (\nabla_\mu X)_\nu +(\nabla_\nu X)_\mu) \end{equation}

となるので， ▶クリックで途中計算を開く

\begin{align} (\pounds_X g)(V,W) &= \pounds_X (g(V,W))-g(\pounds_X V,W)-g(V,\pounds_X W) \\ &= \underbrace{X(g(V,W))}_{=\nabla_X(g(V,W))}-g([X,V] ,W) -g(V, [X,W]) \\ &= \nabla_X(g(V,W))-g(\nabla_X V - \nabla_V X ,W) -g(V, \nabla_X W -\nabla_W X) \\ &= \underbrace{\nabla_X(g(V,W))-g(\nabla_X V,W)-g(V,\nabla_X W)}_{=\underbrace{(\nabla_X g)}_{計量条件より=0} (V,W)} +g(\underbrace{\nabla_V X}_{=V^\mu \nabla_\mu X} ,W) +g(V,\underbrace{\nabla_W X}_{=W^\nu \nabla_\nu X}) \\ &= V^\mu \underbrace{g( \nabla_\mu X ,W)}_{=(\nabla_\mu X)_\nu W^\nu} +W^\nu \underbrace{g(V , \nabla_\nu X)}_{=V^\mu (\nabla_\nu X)_\mu} \\ &= V^\mu W^\nu ( (\nabla_\mu X)_\nu +(\nabla_\nu X)_\mu) \end{align}

ベクトル場 X がKillingベクトル場である条件 ￡_X g = 0 は座標成分では

\begin{equation} (\pounds _X g)_{\mu \nu}= (\nabla_\mu X)_\nu +(\nabla_\nu X)_\mu=0 \label{eq:killing} \end{equation}

と表される．この微分方程式をKilling方程式とよぶ．Killing方程式を解くことでKillingベクトル場がえられる．この方程式の独立な解の個数には上限があり，それは n 次元の空間に対して n(n+1)/2 個であることが知られている*2 .つまり空間が持つ対称性の数には上限があることが言える．

球面 S² のKillingベクトル場 *3

計量の成分は g₁₁ = a² , g₂₂ = a²sin²θ , g₁₂ =g₂₁ = 0 である．

Christoffel記号

2次元球面のChristoffel記号 Γ^μ_νλ は

\begin{align} ({\Gamma ^1}_{μν}) &= \begin{pmatrix} 0&0 \\ 0&-\sin \theta \cos \theta \end{pmatrix} \\ ({\Gamma ^2}_{μν}) &= \begin{pmatrix} 0&\cot \theta \\ \cot \theta&0 \end{pmatrix} \end{align}

である．*4

Killing方程式を解く．

Killingベクトル場を X = X^μ ∂_μ = X¹ ∂₁+ X² ∂₂ とする．（ X₁ = g_1μ X^μ = a² X¹ , X² = g_2μ X^a = a²sin²θ X² ）

Killing方程式は式$\eqref{eq:killing}$より，

\begin{equation} \begin{pmatrix} 2(\nabla_1 X)_1 & (\nabla_1 X)_2 +(\nabla_2 X)_1 \\ (\nabla_2 X)_1 +(\nabla_1 X)_2 & 2(\nabla_2 X)_2 \end{pmatrix} =0 \end{equation}

と表される．左辺の行列の成分をまずは計算しよう．

11成分は 2a² ∂₁X¹ である． ▶クリックで途中計算を開く

∇₁X = ∇₁( X^μ ∂_μ ) = ( ∇₁X^μ ) ∂_μ + X^μ( ∇₁∂_μ ) = ( ∂₁X^μ ) ∂_μ + X^μ Γ^ν_1μ∂_ν = ( ∂₁X^μ + X^ν Γ^μ_1ν ) ∂_μ
( ∇₁X )¹ = ∂₁X¹ + X^ν Γ¹_1ν
2( ∇₁X )₁ = 2g_1μ ( ∇₁X )^μ = 2g₁₁ ( ∇₁X )¹ = 2g₁₁ ( ∂₁X¹ + X^ν Γ¹_1ν ) = 2a² ( ∂₁X¹ + X¹ Γ¹₁₁ + X² Γ¹₁₂ )
= 2a² ∂₁X¹

同様に12成分は a² sin²θ ∂₁X² + a² ∂₂X¹ ，22成分は 2a² sin²θ ∂₂X² + 2a² sinθ cosθ X¹ である．

である．したがって，Killing方程式は以下のようにあらわされる．

\begin{align} ∂_1 X^1 &= 0 \label{eq:kill11} \\ \sin^2θ ∂_1X^2 + ∂_2X^1 &=0 \label{eq:kill12} \\ \sin^2 θ ∂_2 X^2 + \sin θ \cos θ X^1 &= 0 \label{eq:kill22} \end{align}

これらを解こう．

式$\eqref{eq:kill11}$より，X¹ = u($\phi$) （ $\phi$ についての任意関数）と表される．

また，式$\eqref{eq:kill12}$ の両辺を $\phi$ で微分した式より $\phi$ に関する2階常微分方程式 $\frac{d^2u(\phi)}{d\phi ^2}+u(\phi) =0$ が得られ， u($\phi$) = A sin$\phi$ + B cos$\phi$ （A,Bは任意定数）である． ▶クリックで途中計算を開く

式$\eqref{eq:kill12}$ の両辺を $\phi$ で微分し，式\eqref{eq:kill22}を用いて， \begin{align} & \underbrace{\sin ^2 \theta \underbrace{(\partial_2 \partial_1 X^2)}_{=\partial_1 \partial_2 X^2 }}_{=\partial_1 (\sin ^2 \theta \partial_2 X^2) - 2\sin \theta \cos \theta \partial_2 X^2} + \frac{d^2 u(\phi)}{d\phi^2} = 0 \\ \Leftrightarrow \quad &\underbrace{\partial_1 (- \sin \theta \cos \theta u(\phi))}_{=-(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta ) u(\phi) )} - 2 \underbrace{\cot \theta \underbrace{\sin^2 \theta \partial_2 X^2}_{=- \sin \theta \cos \theta u(\phi)}}_{=-\cos^2 \theta u(\phi)} + \frac{d^2 u(\phi)}{d\phi^2} = 0 \\ \Leftrightarrow \quad &\underbrace{-( \cos^2 \theta - \sin^2 \theta - 2 \cos^2 \theta )}_{=1} u(\phi) + \frac{d^2 u(\phi)}{d\phi^2} =0 \\ \Leftrightarrow \quad & u(\phi) + \frac{d^2 u(\phi)}{d\phi^2} =0 \\ \Leftrightarrow \quad & u(\phi) = A \sin \phi + B \cos \phi \end{align}

次に，式$\eqref{eq:kill22}$ を ∂₂ X² + cotθ u($\phi$) = 0 と書き換えて先ほど求めた u($\phi$) を代入すると，

∂₂ X² + cotθ (A sin$\phi$ + B cos$\phi$) = 0 ．

この式を $\phi$ について積分することで，

X² = A cotθ cos$\phi$ - B cotθ sin$\phi$ + F(θ) ．
（F(θ) はθについての任意関数）

よって式$\eqref{eq:kill12}$ より，

sin²θ { A ( - cosec²θ ) cos$\phi$ - B ( - cosec²θ ) sin$\phi$ + ∂₁F(θ) } + A cos$\phi$ - B sin$\phi$ = 0
⇔ sin²θ ∂₁F(θ) = 0
⇔ F = C （Cは任意定数）

である．よって Killing方程式を満たすベクトル場 X の成分の一般形は

X¹ = A sin$\phi$ + B cos$\phi$
X² = A cotθ cos$\phi$ - B cotθ sin$\phi$ + C

となる． 式$\eqref{eq:K1},\eqref{eq:K2},\eqref{eq:K3}$ はそれぞれ，A = B = 0 , A = C = 0 , B = C = 0 の場合を指している．

参考文献

*1:https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8D%A9%E3%82%8C%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB

*2:

一般相対性理論【現代物理学叢書】 (岩波オンデマンドブックス)

*3:http://www.staff.science.uu.nl/~proko101/GR_tutorial_6_solutions.pdf

*4:吾輩の備忘録: 2次元球面のクリストッフェル記号