三浦と窮理とブログ

主に自然科学について自分が勉強してきたことについて書いていきます.困っている誰かの役に立ちたいですし,そのためにもっと成長したいです.

無限小座標変換による体積要素の微小変化量

任意の無限小座標変換 $ x^\mu \to x'^\mu = x^\mu + \delta x^\mu $ において,体積要素 $ d^4x $ は

\begin{equation}\label{eq:d4x} d^4x \to d^4x' = d^4x + d^4x\partial_\mu \delta x^\mu \end{equation}

と変換されることを示そう.

小行列式と余因子の記号の定義

正方行列 $ A =(A_{ij})$ に対し,$ A $ の$ (i,j) $ 小行列式(minor)を $ M_{ij}(A)$ とする.

$ A $ の $ (i,j) $ 余因子(cofactor)を $ C_{ij}(A)$ とする.$ \therefore C_{ij}(A) = (-1)^{i+j}M_{ij}(A) $.

これらの記号を用いて,行列式 $ \det (A) $ の余因子展開は,

\begin{equation} \det (A) = \sum_j A_{ij} C_{ij}(A) \end{equation}

と表される.

式\eqref{eq:d4x}の導出

無限小座標変換 $ x^\mu \to x'^\mu = x^\mu + \delta x^\mu $ に対して

\begin{align} d^4x \to d^4x' &= \underbrace{\det \left(\frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\nu}\right)}_{ヤコビアン} d^4x = \det (\underbrace{\delta^\mu_\nu + \partial_\nu \delta x^\mu}_{=:{X_\nu}^\mu}) d^4x \\ &= \Biggl (\underbrace{\det (\delta^\mu_\nu)}_{=1} + \underbrace{\left. \frac{\partial \det (\delta^\mu_\nu + \partial_\nu \delta x^\mu)}{\partial {X_\rho}^\lambda} \right|_{\delta x = 0}}_{\substack{=C_\rho^\lambda(\delta^\nu_\mu + \partial_\nu \delta x^\mu)|_{\delta x =0}\\= C_\rho^\lambda(\delta^\nu_\mu)=\delta^\lambda_\rho}} \partial_\rho \delta x^\lambda + O((\delta x)^2)\Biggr ) d^4x \\ &\cong d^4x + (\partial_\lambda \delta x^\lambda) d^4x \end{align}

となる.$\delta^\lambda_\rho$はクロネッカーのデルタ記号.

参考文献

余因子展開 - Wikipedia

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