任意の無限小座標変換 $ x^\mu \to x'^\mu = x^\mu + \delta x^\mu $ において，体積要素 $ d^4x $ は

\begin{equation}\label{eq:d4x} d^4x \to d^4x' = d^4x + d^4x\partial_\mu \delta x^\mu \end{equation}

と変換されることを示そう．

小行列式と余因子の記号の定義

正方行列 $ A =(A_{ij})$ に対し，$ A $ の$ (i,j) $ 小行列式(minor)を $ M_{ij}(A)$ とする．

$ A $ の $ (i,j) $ 余因子(cofactor)を $ C_{ij}(A)$ とする．$ \therefore C_{ij}(A) = (-1)^{i+j}M_{ij}(A) $．

これらの記号を用いて，行列式 $ \det (A) $ の余因子展開は，

\begin{equation} \det (A) = \sum_j A_{ij} C_{ij}(A) \end{equation}

と表される．

式\eqref{eq:d4x}の導出

無限小座標変換 $ x^\mu \to x'^\mu = x^\mu + \delta x^\mu $ に対して

\begin{align} d^4x \to d^4x' &= \underbrace{\det \left(\frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\nu}\right)}_{ヤコビアン} d^4x = \det (\underbrace{\delta^\mu_\nu + \partial_\nu \delta x^\mu}_{=:{X_\nu}^\mu}) d^4x \\ &= \Biggl (\underbrace{\det (\delta^\mu_\nu)}_{=1} + \underbrace{\left. \frac{\partial \det (\delta^\mu_\nu + \partial_\nu \delta x^\mu)}{\partial {X_\rho}^\lambda} \right|_{\delta x = 0}}_{\substack{=C_\rho^\lambda(\delta^\nu_\mu + \partial_\nu \delta x^\mu)|_{\delta x =0}\\= C_\rho^\lambda(\delta^\nu_\mu)=\delta^\lambda_\rho}} \partial_\rho \delta x^\lambda + O((\delta x)^2)\Biggr ) d^4x \\ &\cong d^4x + (\partial_\lambda \delta x^\lambda) d^4x \end{align}

となる．$\delta^\lambda_\rho$はクロネッカーのデルタ記号．

参考文献

余因子展開 - Wikipedia