三浦ノート

自分の経験したことを検索可能にしていくブログ.誰かの役に立ってくれれば嬉しいです.

U(1)ゲージ場の場の強さから作られる擬スカラー量の全微分形への変形

$ U(1) $ゲージ場の場の強さ $ F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu $ から作られる擬スカラー量 $ \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma} $ に対し,

\begin{equation} \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma} = 4 \partial_\mu(\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} A_\nu \partial_\rho A_\sigma) \end{equation}

を示す.

\begin{align} \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma} &= \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} (\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu)(\partial_\rho A_\sigma - \partial_\sigma A_\rho) \\ &= \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} (\partial_\mu A_\nu\partial_\rho A_\sigma - \partial_\mu A_\nu\partial_\sigma A_\rho -\partial_\nu A_\mu\partial_\rho A_\sigma + \partial_\nu A_\mu\partial_\sigma A_\rho) \\ &= 4\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\partial_\mu A_\nu\partial_\rho A_\sigma \\ &= 4\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \{\partial_\mu (A_\nu\partial_\rho A_\sigma)-A_\nu(\underbrace{\partial_\mu \partial_\rho}_{\rlap{\epsilon との縮約で0}} A_\sigma) \} \\ &= 4 \partial_\mu(\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} A_\nu \partial_\rho A_\sigma) \end{align}

ゲージ場の量子論〈1〉 (新物理学シリーズ)

ゲージ場の量子論〈1〉 (新物理学シリーズ)