$ U(1) $ゲージ場の場の強さ $ F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu $ から作られる擬スカラー量 $ \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma} $ に対し,
\begin{equation}
\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma} = 4 \partial_\mu(\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} A_\nu \partial_\rho A_\sigma)
\end{equation}
を示す.
\begin{align}
\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma} &=
\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} (\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu)(\partial_\rho A_\sigma - \partial_\sigma A_\rho) \\
&= \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} (\partial_\mu A_\nu\partial_\rho A_\sigma - \partial_\mu A_\nu\partial_\sigma A_\rho -\partial_\nu A_\mu\partial_\rho A_\sigma + \partial_\nu A_\mu\partial_\sigma A_\rho) \\
&= 4\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\partial_\mu A_\nu\partial_\rho A_\sigma \\
&= 4\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \{\partial_\mu (A_\nu\partial_\rho A_\sigma)-A_\nu(\underbrace{\partial_\mu \partial_\rho}_{\rlap{\epsilon との縮約で0}} A_\sigma) \} \\
&= 4 \partial_\mu(\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} A_\nu \partial_\rho A_\sigma)
\end{align}
- 作者: 九後汰一郎
- 出版社/メーカー: 培風館
- 発売日: 1989/07/01
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