三浦と窮理とブログ

主に自然科学について自分が勉強してきたことについて書いていきます.誰かの役に立ってくれれば嬉しいです.

U(1)ゲージ場の場の強さから作られる擬スカラー量の全微分形への変形

$ U(1) $ゲージ場の場の強さ $ F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu $ から作られる擬スカラー量 $ \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma} $ に対し,

\begin{equation} \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma} = 4 \partial_\mu(\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} A_\nu \partial_\rho A_\sigma) \end{equation}

を示す.

\begin{align} \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma} &= \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} (\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu)(\partial_\rho A_\sigma - \partial_\sigma A_\rho) \\ &= \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} (\partial_\mu A_\nu\partial_\rho A_\sigma - \partial_\mu A_\nu\partial_\sigma A_\rho -\partial_\nu A_\mu\partial_\rho A_\sigma + \partial_\nu A_\mu\partial_\sigma A_\rho) \\ &= 4\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\partial_\mu A_\nu\partial_\rho A_\sigma \\ &= 4\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \{\partial_\mu (A_\nu\partial_\rho A_\sigma)-A_\nu(\underbrace{\partial_\mu \partial_\rho}_{\rlap{\epsilon との縮約で0}} A_\sigma) \} \\ &= 4 \partial_\mu(\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} A_\nu \partial_\rho A_\sigma) \end{align}

ゲージ場の量子論〈1〉 (新物理学シリーズ)

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