三浦と窮理とブログ

主に物理学・数学について自分が勉強してきたことについて書いていきます.誰かの役に立ってくれれば嬉しいです.

1次元調和振動子の波動関数の規格化と基底状態・第1励起状態の存在確率の計算

1次元調和振動子の波動関数はエルミート多項式を用いて $ \psi_n(\xi) = A_n H_n (\xi) e^{-\xi^2/2} $ と表せる.ここで,$ \xi =\sqrt{m\omega/\hbar} x $ ,$ A_n $ は規格化定数とする.

・規格化定数の決定

\begin{align} 1&= \int_{-\infty}^{\infty} \psi_n^*(x) \psi_n(x) \textcolor{blue}{\underline{\textcolor{black}{dx} }} = \int_{-\infty}^{\infty} |A_n|^2 {H_n(\xi)}^2 e^{-\xi^2} \textcolor{blue}{\underline{\textcolor{black}{\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}} d\xi} }} = 2^n n! \sqrt{\pi} |A_n|^2 \sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}} \\ \Leftrightarrow&\quad |A_n|^2 = \frac{1}{2^n n!} \sqrt{\frac{m\omega}{\pi\hbar}} \quad\Leftrightarrow\quad A_n = \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} \left (\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right )^{1/4} \end{align}

よって,$ \psi_n(\xi) = \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} \left (\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right )^{1/4} H_n (\xi) e^{-\xi^2/2} $ と表される.

・直交性

$ n\ne m $ とすると,

\begin{equation} \langle \psi_n |\psi_m \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \psi_n^*(x) \psi_n(x) dx = A_m^* A_n \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} H_n(\xi) H_m(\xi) e^{-\xi^2} d\xi }_{=0} =0 \end{equation}

より,異なる量子数の波動関数は直交している.

・基底状態の波動関数と粒子の存在確率

\begin{align} \psi_0(\xi) &= \left (\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right )^{1/4} \underbrace{H_0 (\xi)}_{=1} e^{-\xi^2/2} = \left (\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right )^{1/4} e^{-\xi^2/2} \\ |\psi_0(\xi)|^2 &= \sqrt{\frac{m\omega}{\pi\hbar}} e^{-\xi^2} \end{align}

・第一励起状態の波動関数と粒子の存在確率

\begin{align} \psi_1(\xi) &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left (\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right )^{1/4} \underbrace{H_1 (\xi)}_{=2\xi} e^{-\xi^2/2} = \sqrt{2} \left (\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right )^{1/4} \xi e^{-\xi^2/2} \\ |\psi_1(\xi)|^2 &= 2\sqrt{\frac{m\omega}{\pi\hbar}} \xi^2 e^{-\xi^2} \end{align}