1次元調和振動子の波動関数はエルミート多項式を用いて $ \psi_n(\xi) = A_n H_n (\xi) e^{-\xi^2/2} $ と表せる.ここで,$ \xi =\sqrt{m\omega/\hbar} x $ ,$ A_n $ は規格化定数とする.
・規格化定数の決定
\begin{align}
1&= \int_{-\infty}^{\infty} \psi_n^*(x) \psi_n(x) \textcolor{blue}{\underline{\textcolor{black}{dx} }}
= \int_{-\infty}^{\infty} |A_n|^2 {H_n(\xi)}^2 e^{-\xi^2} \textcolor{blue}{\underline{\textcolor{black}{\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}} d\xi} }}
= 2^n n! \sqrt{\pi} |A_n|^2 \sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}} \\
\Leftrightarrow&\quad |A_n|^2 = \frac{1}{2^n n!} \sqrt{\frac{m\omega}{\pi\hbar}}
\quad\Leftrightarrow\quad A_n = \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} \left (\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right )^{1/4}
\end{align}
よって,$ \psi_n(\xi) = \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} \left (\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right )^{1/4} H_n (\xi) e^{-\xi^2/2} $ と表される.
・直交性
$ n\ne m $ とすると,
\begin{equation}
\langle \psi_n |\psi_m \rangle
= \int_{-\infty}^{\infty} \psi_n^*(x) \psi_n(x) dx
= A_m^* A_n \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} H_n(\xi) H_m(\xi) e^{-\xi^2} d\xi }_{=0}
=0
\end{equation}
より,異なる量子数の波動関数は直交している.
・基底状態の波動関数と粒子の存在確率
\begin{align}
\psi_0(\xi) &= \left (\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right )^{1/4} \underbrace{H_0 (\xi)}_{=1} e^{-\xi^2/2}
= \left (\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right )^{1/4} e^{-\xi^2/2} \\
|\psi_0(\xi)|^2 &= \sqrt{\frac{m\omega}{\pi\hbar}} e^{-\xi^2}
\end{align}
・第一励起状態の波動関数と粒子の存在確率
\begin{align}
\psi_1(\xi) &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left (\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right )^{1/4} \underbrace{H_1 (\xi)}_{=2\xi} e^{-\xi^2/2}
= \sqrt{2} \left (\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right )^{1/4} \xi e^{-\xi^2/2} \\
|\psi_1(\xi)|^2 &= 2\sqrt{\frac{m\omega}{\pi\hbar}} \xi^2 e^{-\xi^2}
\end{align}