三浦と窮理とブログ

主に自然科学について自分が勉強してきたことについて書いていきます.誰かの役に立ってくれれば嬉しいです.

1次元調和振動子の生成消滅演算子による表示とハミルトニアンの固有値

1次元調和振動子のハミルトニアンは,運動量演算子 $ \hat{p} $ と座標演算子 $ \hat{x} $ を用いて

\begin{equation} \hat { H } = \frac { \hat { p } ^ { 2 } } { 2 m } + \frac { m \omega ^ { 2 } \hat { x } ^ { 2 } } { 2 } \end{equation}

のようにあらわされる.ここで $ m $ は質量, $ \omega $ は振動数である.

次のように3つの演算子を定義する.

\begin{equation} \hat { a } \equiv \sqrt { \frac { m \omega } { 2 \hbar } } \left( \hat { x } + \frac { i } { m \omega } \hat { p } \right) , \quad \hat { a } ^ { \dagger } \equiv \sqrt { \frac { m \omega } { 2 \hbar } } \left( \hat { x } - \frac { i } { m \omega } \hat { p } \right) , \quad \hat { N } \equiv \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } \end{equation}

$ \hat{ a } $ を消滅演算子, $ \hat{ a }^\dagger $ を生成演算子, $ \hat{ N} $ を個数演算子と呼ぶ.

これらの演算子を使うと,運動量 $ \hat{p}$ と座標 $ \hat{x} $ とハミルトニアン $ \hat{ H } $ は

\begin{equation} \hat { x } = \sqrt { \frac { \hbar } { 2 m \omega } } \left( \hat { a } + \hat { a } ^\dagger \right) ~,~ \hat { p } = i\sqrt { \frac { x \hbar \omega } { 2 } } \left( - \hat{ a } + \hat{ a } ^ { \dagger} \right) ~,~ \hat{ H } = \hbar \omega \left( \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } + \frac { 1 } { 2 } \right) = \hbar \omega \left( \hat { N } + \frac { 1 } { 2 } \right) \end{equation}

と表される. ▶クリックで途中計算を開く

これらの交換関係はそれぞれ

\begin{align} [ \hat { a } , \hat { a } ^ { \dagger } ] &= 1 \\ [ \hat { a } , \hat { x } ] &= \sqrt { \frac { \hbar } { 2 m \omega } }\\ [ \hat { a } , \hat { p } ] &= i \sqrt { \frac { x \hbar \omega } { 2 } }\\ [ \hat { a } , \hat { N } ] &= \hat { a }\\ [ \hat { a } ^ { \dagger } , \hat { N } ] &= -\hat { a } ^ { \dagger } \\ [ \hat { H } , \hat { a } ] &= - \hbar \omega \hat { a }\\ [ \hat { H } , \hat { a } ^ { \dagger } ] &= \hbar \omega \hat { a }^\dagger \end{align}

となる. ▶クリックで途中計算を開く

ハミルトニアン $ \hat{ H } $ のとある固有値を $ \hbar \omega \lambda $ ,対応する固有状態を $ |\lambda \rangle $ とする(i.e. $ \hat{ H } |\lambda \rangle = \hbar \omega \lambda|\lambda \rangle $ ). このとき, $ \hat{a}^\dagger |\lambda \rangle $ も $ \hat{a}|\lambda \rangle $ も $ \hat{H} $ の固有状態で,固有値はそれぞれ $ \hbar \omega (\lambda+1) , \hbar \omega (\lambda-1) $ となる. ▶クリックで途中計算を開く

固有状態 $ |\lambda \rangle $ に $ \hat{a} $ を繰り返し作用させると,固有値をどんどん小さくすることができる.しかし,1次元調和振動子のハミルトニアン $ \hat{H} $ の固有値は負にはならないので,

\begin{equation} | \lambda _ { 0 } \rangle \neq 0 , \quad \hat { a } | \lambda _ { 0 } \rangle = 0 \label{eq:L0} \end{equation}

となる固有値 $ \hbar \omega \lambda_0 $ に到達するはずである.(この右辺の0はヒルベルト空間上の零ベクトルを表している.)

この仮定の下,固有値方程式 $ \hat{H} |\lambda_0\rangle = \hbar \omega \lambda_0 |\lambda_0\rangle $ より $ \lambda_0 = \frac{1}{2} $ が求まる. ▶クリックで途中計算を開く

式\eqref{eq:L0}の座標表示 $ \langle x | \hat { a } | \lambda _ { 0 } \rangle = 0 $ より固有関数 $ \psi _ { \lambda _ { 0 } } ( x ) := \langle x | \lambda _ { 0 } \rangle $ は

\begin{equation} \psi _ { \lambda _ { 0 } } ( x )= \left (\frac{m\omega}{\hbar \pi} \right )^{1/4}\exp \left[ - \frac { m \omega } { 2 \hbar } x ^ { 2 } \right] \end{equation}

と求まる. ▶クリックで途中計算を開く

この $ | \lambda _ { 0 } \rangle $ は固有値が $ \frac{1}{2} \hbar \omega $ で最小になっている調和振動子の基底状態に対応する.これに $ \hat{ a }^\dagger $ を $ n $ 回作用させた状態 $ (\hat{a} ^ \dagger) ^ n| \lambda _ { 0 } \rangle $ も $ \hat{H} $ の固有値 $ (n+\frac{1}{2}) \hbar \omega $ の固有状態である.このようにして調和振動子の $ n $ 次励起状態の固有値を知ることができる.

また, $ (\hat{a} ^ \dagger) ^ n| \lambda _ { 0 } \rangle $ は個数演算子 $ \hat{N} $ の固有状態でもあり,固有値は $ n $ である ▶クリックで途中計算を開く

$ (\hat{a} ^ \dagger) ^ n| \lambda _ { 0 } \rangle $ を $ |n\rangle $ と表すことも多い.i.e. $ \hat{N} |n\rangle = n|n\rangle $ ,$ |\lambda _ 0 \rangle =|0\rangle$

エルミート多項式による表示との比較については以下の記事で紹介している.

www.k-pmpstudy.com