1次元調和振動子のハミルトニアンは，運動量演算子 $ \hat{p} $ と座標演算子 $ \hat{x} $ を用いて
\begin{equation}
\hat { H } = \frac { \hat { p } ^ { 2 } } { 2 m } + \frac { m \omega ^ { 2 } \hat { x } ^ { 2 } } { 2 }
\end{equation}
のようにあらわされる．ここで $ m $ は質量， $ \omega $ は振動数である．
次のように3つの演算子を定義する．
\begin{equation}
\hat { a } \equiv \sqrt { \frac { m \omega } { 2 \hbar } } \left( \hat { x } + \frac { i } { m \omega } \hat { p } \right) , \quad
\hat { a } ^ { \dagger } \equiv \sqrt { \frac { m \omega } { 2 \hbar } } \left( \hat { x } - \frac { i } { m \omega } \hat { p } \right) , \quad
\hat { N } \equiv \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a }
\end{equation}
$ \hat{ a } $ を消滅演算子， $ \hat{ a }^\dagger $ を生成演算子， $ \hat{ N} $ を個数演算子と呼ぶ．
これらの演算子を使うと，運動量 $ \hat{p}$ と座標 $ \hat{x} $ とハミルトニアン $ \hat{ H } $ は
\begin{equation}
\hat { x } = \sqrt { \frac { \hbar } { 2 m \omega } } \left( \hat { a } + \hat { a } ^\dagger \right)
~,~
\hat { p } = i\sqrt { \frac { x \hbar \omega } { 2 } } \left( - \hat{ a } + \hat{ a } ^ { \dagger} \right)
~,~
\hat{ H } = \hbar \omega \left( \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } + \frac { 1 } { 2 } \right)
= \hbar \omega \left( \hat { N } + \frac { 1 } { 2 } \right)
\end{equation}
と表される．
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$\hat{x}$ と $\hat{p}$ が非可換であることに注意して計算する．
\begin{align}
\hat{ H } &= \frac { \hat { p } ^ { 2 } } { 2 m } + \frac { m \omega ^ { 2 } \hat { x } ^ { 2 } } { 2 }
= \frac { m \omega^2 } { 2 } \left( \frac { \hat{p} ^ { 2 } } { m ^ { 2 } \omega ^ { 2 } } + \hat { x } ^ { 2 } \right)
= \frac { m \omega^2 } { 2 } \Bigl \{\underbrace{\left (\hat{ x }-i\frac{\hat{ p }}{m\omega}\right )}_{=\sqrt { \frac { 2 \hbar }{ m \omega } }\hat{ a }^\dagger}\underbrace{\left (\hat{ x }+i\frac{\hat{ p }}{m\omega}\right )}_{=\sqrt { \frac { 2 \hbar }{ m \omega } }\hat{ a }} -\frac{i}{m\omega}\underbrace{[\hat{ x },\hat{ p }]}_{=i\hbar} \Bigr \}\\
&= \hbar \omega \left( \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } + \frac { 1 } { 2 } \right)
\end{align}
これらの交換関係はそれぞれ
\begin{align}
[ \hat { a } , \hat { a } ^ { \dagger } ] &= 1 \\
[ \hat { a } , \hat { x } ] &= \sqrt { \frac { \hbar } { 2 m \omega } }\\
[ \hat { a } , \hat { p } ] &= i \sqrt { \frac { x \hbar \omega } { 2 } }\\
[ \hat { a } , \hat { N } ] &= \hat { a }\\
[ \hat { a } ^ { \dagger } , \hat { N } ] &= -\hat { a } ^ { \dagger } \\
[ \hat { H } , \hat { a } ] &= - \hbar \omega \hat { a }\\
[ \hat { H } , \hat { a } ^ { \dagger } ] &= \hbar \omega \hat { a }^\dagger
\end{align}
となる．
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\begin{align}
[ \hat { a } , \hat { a } ^ { \dagger } ] &= [\sqrt { \frac { m \omega } { 2 \hbar } } \left( \hat { x } + \frac { i } { m \omega } \hat { p } \right), \sqrt { \frac { m \omega } { 2 \hbar } } \left( \hat { x } - \frac { i } { m \omega } \hat { p } \right)] \\
&=\frac { m \omega } { 2 \hbar } (\underbrace{[\hat{ x },\hat{x}]}_{=0}- \frac { i } { m \omega } \underbrace{[\hat{ x },\hat{p}] }_{=i\hbar}+ \frac { i } { m \omega } \underbrace{[\hat{ p },\hat{x}]}_{=-i\hbar} \frac{1}{m^2\omega^2}\underbrace{[\hat{ p },\hat{p}]}_{=0})
=1 \\
[ \hat { a } , \hat { N } ] &= [ \hat { a } , \hat { a }^\dagger \hat { a } ]
= \hat { a } ^\dagger \underbrace{[ \hat { a } , \hat { a } ]}_{=0} + \underbrace{[ \hat { a } , \hat { a } ^ { \dagger } ]}_{=1} \hat{ a }
= \hat{a}
\end{align}
ハミルトニアン $ \hat{ H } $ のとある固有値を $ \hbar \omega \lambda $ ，対応する固有状態を $ |\lambda \rangle $ とする(i.e. $ \hat{ H } |\lambda \rangle = \hbar \omega \lambda|\lambda \rangle $ )．
このとき， $ \hat{a}^\dagger |\lambda \rangle $ も $ \hat{a}|\lambda \rangle $ も $ \hat{H} $ の固有状態で，固有値はそれぞれ $ \hbar \omega (\lambda+1) , \hbar \omega (\lambda-1) $ となる．
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\begin{align}
\hat{ H } (\hat{a}^\dagger |\lambda \rangle) &=
(\hat{ H } \hat{a}^\dagger) |\lambda \rangle
= (\underbrace{[ \hat { H } , \hat { a } ^ { \dagger } ]}_{=\hbar \omega \hat { a }^\dagger} + \hat{a}^\dagger\hat{ H })|\lambda \rangle
= \hbar \omega(1+\lambda) \hat{a}^\dagger |\lambda \rangle
\end{align}
固有状態 $ |\lambda \rangle $ に $ \hat{a} $ を繰り返し作用させると，固有値をどんどん小さくすることができる．しかし，1次元調和振動子のハミルトニアン $ \hat{H} $ の固有値は負にはならないので，
\begin{equation}
| \lambda _ { 0 } \rangle \neq 0 , \quad \hat { a } | \lambda _ { 0 } \rangle = 0
\label{eq:L0}
\end{equation}
となる固有値 $ \hbar \omega \lambda_0 $ に到達するはずである．(この右辺の0はヒルベルト空間上の零ベクトルを表している．)
この仮定の下，固有値方程式 $ \hat{H} |\lambda_0\rangle = \hbar \omega \lambda_0 |\lambda_0\rangle $ より $ \lambda_0 = \frac{1}{2} $ が求まる．
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\begin{equation}
\hat{H} |\lambda_0\rangle = \hbar \omega \left( \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } + \frac { 1 } { 2 } \right) |\lambda_0\rangle
= \frac{1}{2}\hbar \omega |\lambda_0\rangle
\end{equation}
式\eqref{eq:L0}の座標表示 $ \langle x | \hat { a } | \lambda _ { 0 } \rangle = 0 $ より固有関数 $ \psi _ { \lambda _ { 0 } } ( x ) := \langle x | \lambda _ { 0 } \rangle $ は
\begin{equation}
\psi _ { \lambda _ { 0 } } ( x )=
\left (\frac{m\omega}{\hbar \pi} \right )^{1/4}\exp \left[ - \frac { m \omega } { 2 \hbar } x ^ { 2 } \right]
\end{equation}
と求まる．
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\begin{align}
0&= \langle x | \hat { a } | \lambda _ { 0 } \rangle
= \sqrt { \frac { m \omega } { 2 \hbar } } \langle x | (\hat { x } + \frac { i } { m \omega } \hat { p }) | \lambda _ { 0 } \rangle
= \sqrt { \frac { m \omega } { 2 \hbar } } \left ( x- \frac { i } { m \omega } i\hbar \frac{d}{dx} \right ) \langle x | \lambda _ { 0 } \rangle \\
&=\sqrt { \frac { m \omega } { 2 \hbar } } \left ( x+ \frac { \hbar } { m \omega } \frac{d}{dx} \right ) \psi _ { \lambda _ { 0 } } ( x ) \\
& \Leftrightarrow \quad \frac{d}{dx} \psi _ { \lambda _ { 0 } } ( x )
= - \frac{m\omega}{\hbar} x \psi _ { \lambda _ { 0 } } ( x )
\quad \Leftrightarrow \quad
\ln \psi _ { \lambda _ { 0 } } ( x ) = - \frac{m\omega}{2\hbar} x^2 +\mathrm{Const.} \\
& \Leftrightarrow \quad \psi _ { \lambda _ { 0 } } ( x ) = A\exp \left[ - \frac { m \omega } { 2 \hbar } x ^ { 2 } \right]
\end{align}
規格化条件より
\begin{align}
1 &= |A|^2 \int_{-\infty}^{\infty}dx \exp \left[ - \frac { m \omega } { \hbar } x ^ { 2 } \right]
= |A|^2 \sqrt{\frac{\hbar\pi}{m\omega}} \\
\Leftrightarrow & \quad |A|^2 = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar\pi}}
\end{align}
この $ | \lambda _ { 0 } \rangle $ は固有値が $ \frac{1}{2} \hbar \omega $ で最小になっている調和振動子の基底状態に対応する．これに $ \hat{ a }^\dagger $ を $ n $ 回作用させた状態 $ (\hat{a} ^ \dagger) ^ n| \lambda _ { 0 } \rangle $ も $ \hat{H} $ の固有値 $ (n+\frac{1}{2}) \hbar \omega $ の固有状態である．このようにして調和振動子の $ n $ 次励起状態の固有値を知ることができる．
また， $ (\hat{a} ^ \dagger) ^ n| \lambda _ { 0 } \rangle $ は個数演算子 $ \hat{N} $ の固有状態でもあり，固有値は $ n $ である
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$ \hat{H} (\hat{a}^\dagger)^n| \lambda _ { 0 } \rangle = (n+\frac{1}{2}) \hbar \omega(\hat{a}^\dagger)^n| \lambda _ { 0 } \rangle ~,~ \hat{H} = (\hat{ N }+\frac{1}{2})\hbar \omega$ なので明らか．
$ (\hat{a} ^ \dagger) ^ n| \lambda _ { 0 } \rangle $ を $ |n\rangle $ と表すことも多い．i.e. $ \hat{N} |n\rangle = n|n\rangle $ ，$ |\lambda _ 0 \rangle =|0\rangle$
エルミート多項式による表示との比較については以下の記事で紹介している．
www.k-pmpstudy.com
