位置演算子 $ \hat{x} $ と運動量演算子 $ \hat{ p } $ に対し，次の演算子
\begin{equation}
\hat { G } _ { \epsilon } = \left( 1 + \frac { \hat { p } } { i \hbar } \epsilon \right)
\end{equation}
を定義する． ε は微小量である．位置演算子 $ \hat{x} $ との交換関係は
\begin{equation}
[ \hat { G } _ { \epsilon } , \hat { x } ] = -\epsilon
\end{equation}
である．
▶クリックで途中計算を開く
\begin{equation}
[ \hat { G } _ { \epsilon } , \hat { x } ] = [1 + \frac { \hat { p } } { i \hbar } \epsilon , \hat { x } ]
=\frac{\epsilon}{i\hbar}\underbrace{[\hat{ p }, \hat{ x }]}_{=-i\hbar}
=-\epsilon
\end{equation}
位置演算子 $ \hat{x} $ の固有状態 $ |x\rangle $ に対し(i.e. $ \hat{ x } |x\rangle =x|x\rangle $ )， $ \hat { G } _ { \epsilon } | x \rangle $ は固有値 x + ε に対応する固有状態である.
すなわち
\begin{equation}
\hat { G } _ { \epsilon } | x \rangle = e ^ { i \theta } | x + \epsilon \rangle + O ( \epsilon ^ { 2 } )
\end{equation}
と書くことができる．
▶クリックで途中計算を開く
$ \hat{ x } (\hat { G } _ { \epsilon } | x \rangle) = (x + \epsilon+ O ( \epsilon ^ { 2 } )) (\hat { G } _ { \epsilon } | x \rangle) $ を示せばよい．
\begin{align}
\hat{ x } (\hat { G } _ { \epsilon } | x \rangle)
&= (\hat{ x } \hat { G } _ { \epsilon }) | x \rangle
= (\hat { G } _ { \epsilon }\hat{ x } \underbrace{- [ \hat { G } _ { \epsilon } , \hat { x } ]}_{=+\epsilon}) | x \rangle
= (x+ \epsilon \hat { G } _ { \epsilon } ^{-1} )(\hat { G } _ { \epsilon } | x \rangle)
=(x+ \epsilon \left( 1 - \frac { \hat { p } } { i \hbar } \epsilon \right) )(\hat { G } _ { \epsilon } | x \rangle) \\
&= (x + \epsilon+ O ( \epsilon ^ { 2 } )) (\hat { G } _ { \epsilon } | x \rangle)
\end{align}
$\hat { G } _ { \epsilon } | x \rangle$ は大きさも1なのでOK．
O( ε2 ) は ε の2次の微小量である．
固有状態には複素位相の自由度があるので今後 θ = 0 とする．
有限距離 Δx の並進変換は
\begin{equation}
\hat { G } ( \Delta x ) = \exp \left( \frac { \hat { p } } { i \hbar } \Delta x \right)
\end{equation}
であり，
▶クリックで途中計算を開く
ε = Δx / N として $ \hat{G} _ \epsilon $ を N 回作用させることを考え， N → ∞ の極限をとればよい．
\begin{align}
\hat { G } ( \Delta x ) &= \lim _ { N \rightarrow \infty } \left( \hat { G } _ { \Delta x / N } \right) ^ { N }
= \lim _ { N \to \infty } \left( 1 + \frac { \hat { p } } { i \hbar } \frac { \Delta x } { N } \right) ^ { N }
= \lim _ { N \to \infty } \sum_{k=0}^{N} {}_{N}\mathrm{C}_k \left( \frac { \hat { p } } { i \hbar } \frac { \Delta x } { N } \right) ^k \\
&= \lim _ { N \to \infty }\sum_{k=0}^{N} \frac{1}{k!} \underbrace{\frac{N!}{(N-k)!} \frac{1}{N^k} }_{:=(a)\to 1}\left( \frac { \hat { p } } { i \hbar } \Delta x \right) ^k
= \exp \left( \frac { \hat { p } } { i \hbar } \Delta x \right) \\
(a) &= \frac{N!}{(N-k)!} \frac{1}{N^k}
= \frac{N(N-1)(N-2)\cdots(N-(k-1))}{N^k} \\
&= (1-\frac{1}{N})(1-\frac{2}{N})\cdots(1-\frac{k-1}{N})
\to 1 ~(N\to \infty)
\end{align}
\begin{equation}
\hat { G } ( \Delta x ) | x \rangle = | x + \Delta x \rangle , \quad \langle x | \hat { G } ( \Delta x ) = \langle x - \Delta x |
\end{equation}
と表される．
以上より， $ \langle x = 0 | \hat { G } ( - x ) | p \rangle $ を考えることで，運動量固有状態 $ |p\rangle $ の位置表示 $ \langle x| p \rangle $ が
\begin{equation}
\langle x| p \rangle = N \exp \left(- \frac { p x } { i \hbar } \right)
\end{equation}
と求まる．
▶クリックで途中計算を開く
\begin{equation}
\langle x = 0 | \hat { G } ( - x ) | p \rangle =
( \langle x = 0 | \hat { G } ( - x ) ) | p \rangle = \langle x | p \rangle
\end{equation}
一方，
\begin{equation}
\langle x = 0 | \hat { G } ( - x ) | p \rangle = \langle x = 0 |( \hat { G } ( - x ) | p \rangle )
= \langle x = 0 |\left ( \exp \left( -\frac { \hat { p } x } { i \hbar } \right ) | p \rangle \right )
= \exp \left( -\frac { p x } { i \hbar } \right ) \langle x=0| p \rangle
\end{equation}
$ N := \langle x=0| p \rangle $ ．
