三浦ノート

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量子力学における並進演算子と運動量演算子について

位置演算子 $ \hat{x} $ と運動量演算子 $ \hat{ p } $ に対し,次の演算子

\begin{equation} \hat { G } _ { \epsilon } = \left( 1 + \frac { \hat { p } } { i \hbar } \epsilon \right) \end{equation}

を定義する. ε は微小量である.位置演算子 $ \hat{x} $ との交換関係は

\begin{equation} [ \hat { G } _ { \epsilon } , \hat { x } ] = -\epsilon \end{equation}

である. ▶クリックで途中計算を開く

位置演算子 $ \hat{x} $ の固有状態 $ |x\rangle $ に対し(i.e. $ \hat{ x } |x\rangle =x|x\rangle $ ), $ \hat { G } _ { \epsilon } | x \rangle $ は固有値 x + ε に対応する固有状態である. すなわち

\begin{equation} \hat { G } _ { \epsilon } | x \rangle = e ^ { i \theta } | x + \epsilon \rangle + O ( \epsilon ^ { 2 } ) \end{equation}

と書くことができる. ▶クリックで途中計算を開く

O( ε2 ) は ε の2次の微小量である. 固有状態には複素位相の自由度があるので今後 θ = 0 とする.

有限距離 Δx の並進変換は

\begin{equation} \hat { G } ( \Delta x ) = \exp \left( \frac { \hat { p } } { i \hbar } \Delta x \right) \end{equation}

であり, ▶クリックで途中計算を開く

\begin{equation} \hat { G } ( \Delta x ) | x \rangle = | x + \Delta x \rangle , \quad \langle x | \hat { G } ( \Delta x ) = \langle x - \Delta x | \end{equation}

と表される.

以上より, $ \langle x = 0 | \hat { G } ( - x ) | p \rangle $ を考えることで,運動量固有状態 $ |p\rangle $ の位置表示 $ \langle x| p \rangle $ が

\begin{equation} \langle x| p \rangle = N \exp \left(- \frac { p x } { i \hbar } \right) \end{equation}

と求まる. ▶クリックで途中計算を開く

$ N := \langle x=0| p \rangle $ .