三浦と窮理とブログ

主に自然科学について自分が勉強してきたことについて書いていきます.誰かの役に立ってくれれば嬉しいです.

量子力学における並進演算子と運動量演算子について

位置演算子 $ \hat{x} $ と運動量演算子 $ \hat{ p } $ に対し,次の演算子

\begin{equation} \hat { G } _ { \epsilon } = \left( 1 + \frac { \hat { p } } { i \hbar } \epsilon \right) \end{equation}

を定義する. $ \epsilon $ は微小量である.位置演算子 $ \hat{x} $ との交換関係は

\begin{equation} [ \hat { G } _ { \epsilon } , \hat { x } ] = -\epsilon \end{equation}

である. ▶クリックで途中計算を開く

位置演算子 $ \hat{x} $ の固有状態 $ |x\rangle $ に対し(i.e. $ \hat{ x } |x\rangle =x|x\rangle $ ), $ \hat { G } _ { \epsilon } | x \rangle $ は固有値 $ x+\epsilon $ に対応する固有状態である. すなわち

\begin{equation} \hat { G } _ { \epsilon } | x \rangle = e ^ { i \theta } | x + \epsilon \rangle + O ( \epsilon ^ { 2 } ) \end{equation}

と書くことができる. ▶クリックで途中計算を開く

$ O ( \epsilon ^ { 2 } ) $ は $ \epsilon $ の2次の微小量である. 固有状態には複素位相の自由度があるので今後 $ \theta =0 $ とする.

有限距離 $ \Delta x $ の並進変換は

\begin{equation} \hat { G } ( \Delta x ) = \exp \left( \frac { \hat { p } } { i \hbar } \Delta x \right) \end{equation}

であり, ▶クリックで途中計算を開く

\begin{equation} \hat { G } ( \Delta x ) | x \rangle = | x + \Delta x \rangle , \quad \langle x | \hat { G } ( \Delta x ) = \langle x - \Delta x | \end{equation}

と表される.

以上より, $ \langle x = 0 | \hat { G } ( - x ) | p \rangle $ を考えることで,運動量固有状態 $ |p\rangle $ の位置表示 $ \langle x| p \rangle $ が

\begin{equation} \langle x| p \rangle = N \exp \left(- \frac { p x } { i \hbar } \right) \end{equation}

と求まる. ▶クリックで途中計算を開く

$ N := \langle x=0| p \rangle $ .