三浦と窮理とブログ

主に物理学・数学について自分が勉強してきたことについて書いていきます.誰かの役に立ってくれれば嬉しいです.

井戸型ポテンシャル問題の平行移動後の固有値問題の等価性

次の2つの井戸型ポテンシャル V(x) ,V'(x) 中の質量 m の粒子について,固有値問題が等価であることを示す.

\begin{align} V ( x ) &= \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { ( x < 0 , x > a ) } \\ { - V } & { ( 0 < x < a ) } \end{array} \right. \\ V' ( x ) &= \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \left( x < - \frac { a } { 2 } , x > \frac { a } { 2 } \right) } \\ { - V } & { \left( - \frac { a } { 2 } < x < \frac { a } { 2 } \right) } \end{array} \right. \end{align}

それぞれの系のハミルトニアンを

\begin{align} \hat{H} &= \frac{\hat{p}^2}{2m} + V(\hat{x}) \\ \hat{H}' &= \frac{\hat{p}^2}{2m} + V'(\hat{x}) \end{align}

と表す.次が成り立つ.

\begin{align} V(\hat{x}) &= \hat{G}(\frac{a}{2}) V'(\hat{x})\hat{G}(-\frac{a}{2}) \label{eq:V}\\ \hat{p} &= \hat{G}(\frac{a}{2}) \hat{p} \hat{G}(-\frac{a}{2}) \\ \hat{H} &= \hat{G}(\frac{a}{2}) \hat{H}' \hat{G}(-\frac{a}{2}) \label{eq:H} \end{align}

$ \hat{G} $ は並進演算子である. ▶クリックで途中計算を開く

固有値問題の等価性を示すということで, $ \hat{H} $ の固有状態 $ |\psi\rangle $ と固有値 E が求まれば, $ \hat{H}' $ の固有状態 $ |\psi'\rangle $ と固有値 E' が求まり,逆も然りであるということを示そう.すなわち,

\begin{equation} \hat{H} |\psi\rangle = E |\psi\rangle \Leftrightarrow \hat{H}' |\psi'\rangle = E' |\psi'\rangle \end{equation}

を示す.結論は $ |\psi \rangle = \hat{G}(\frac{a}{2}) |\psi'\rangle $, E=E' である.

\begin{alignat}{2} &&\hat{H} |\psi\rangle &= E |\psi\rangle \\ &\Leftrightarrow \quad& \hat{G}(\frac{a}{2}) \hat{H}' \hat{G}(-\frac{a}{2}) |\psi\rangle &= E |\psi\rangle \\ &\Leftrightarrow & \hat{H}' \hat{G}(-\frac{a}{2}) |\psi\rangle &= E \hat{G}(-\frac{a}{2})|\psi\rangle \\ &\Leftrightarrow & \hat{H}' |\psi'\rangle &= E |\psi'\rangle \end{alignat}