次の2つの井戸型ポテンシャル V(x) ,V'(x) 中の質量 m の粒子について，固有値問題が等価であることを示す．
\begin{align}
V ( x ) &= \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { ( x < 0 , x > a ) } \\ { - V } & { ( 0 < x < a ) } \end{array} \right. \\
V' ( x ) &= \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \left( x < - \frac { a } { 2 } , x > \frac { a } { 2 } \right) } \\ { - V } & { \left( - \frac { a } { 2 } < x < \frac { a } { 2 } \right) } \end{array} \right.
\end{align}
それぞれの系のハミルトニアンを
\begin{align}
\hat{H} &= \frac{\hat{p}^2}{2m} + V(\hat{x}) \\
\hat{H}' &= \frac{\hat{p}^2}{2m} + V'(\hat{x})
\end{align}
と表す．次が成り立つ．
\begin{align}
V(\hat{x}) &= \hat{G}(\frac{a}{2}) V'(\hat{x})\hat{G}(-\frac{a}{2}) \label{eq:V}\\
\hat{p} &= \hat{G}(\frac{a}{2}) \hat{p} \hat{G}(-\frac{a}{2}) \\
\hat{H} &= \hat{G}(\frac{a}{2}) \hat{H}' \hat{G}(-\frac{a}{2}) \label{eq:H}
\end{align}
$ \hat{G} $ は並進演算子である． ▶クリックで途中計算を開く
固有値問題の等価性を示すということで， $ \hat{H} $ の固有状態 $ |\psi\rangle $ と固有値 E が求まれば， $ \hat{H}' $ の固有状態 $ |\psi'\rangle $ と固有値 E' が求まり，逆も然りであるということを示そう．すなわち，
\begin{equation}
\hat{H} |\psi\rangle = E |\psi\rangle
\Leftrightarrow
\hat{H}' |\psi'\rangle = E' |\psi'\rangle
\end{equation}
を示す．結論は $ |\psi \rangle = \hat{G}(\frac{a}{2}) |\psi'\rangle $, E=E' である．
\begin{alignat}{2}
&&\hat{H} |\psi\rangle &= E |\psi\rangle \\
&\Leftrightarrow \quad&
\hat{G}(\frac{a}{2}) \hat{H}' \hat{G}(-\frac{a}{2}) |\psi\rangle &= E |\psi\rangle \\
&\Leftrightarrow &
\hat{H}' \hat{G}(-\frac{a}{2}) |\psi\rangle &= E \hat{G}(-\frac{a}{2})|\psi\rangle \\
&\Leftrightarrow &
\hat{H}' |\psi'\rangle &= E |\psi'\rangle
\end{alignat}
