三浦と窮理とブログ

主に自然科学について自分が勉強してきたことについて書いていきます.誰かの役に立ってくれれば嬉しいです.

角運動量演算子の固有値が取ることができる値の導出

角運動量演算子 $ \hat{\boldsymbol{L}}^2, \hat{L} _ z $ は可換でそれぞれエルミート演算子なので, ▶証明

固有状態 $ |l,m\rangle $ と $ \lambda_l , m \in \mathbb{R} $ を用いて

\begin{align} \hat{\boldsymbol { L }} ^ { 2 } | l , m \rangle &= \hbar ^ { 2 } \lambda_l | l , m \rangle \\ \hat{L} _ { z } | l , m \rangle &= \hbar m | l , m \rangle \end{align}

とおくことができる( $ \lambda_l $ と $ m $ は無関係とする).

前記事(角運動量演算子と昇降演算子 - 三浦と窮理とブログ) より,昇降演算子 $ \hat{L} _ \pm = \hat{L} _ x \pm i \hat{L} _ y$ は固有状態 $ | l , m \rangle $ を $ | l , m\pm1 \rangle $ に対応させる演算子であることが言える.(前記事では $ \lambda_l =l(l+1) $ と仮定してしまっていたが,この性質は $ \lambda_l ,m$ に依らず成り立つ.)

本記事では実際に $ \lambda_l =l(l+1)~,~ l=0,1/2,1,3/2,2,\cdots $ . $ m = -l, -1+1,\cdots,l-1,l $ であることを示そう.

証明

$ | \hat{ L} _ { \pm } | l , m \rangle | ^ { 2 } \geq 0 $ より, $ \lambda_l $ が初めに与えられたとき $ m $ には上限と下限が存在する.

なぜなら,連続値としての $ m $ の動ける範囲が $ - \sqrt{\lambda_l} \le m \le \sqrt{\lambda_l} $ であり, ▶導出

$ m $ は昇降演算子によって1づつ増減するので, $ m $ を離散値として考えた時に上限 $ m _ {\mathrm{max}} $ s.t. $ m _ {\mathrm{max}} \le \sqrt{\lambda_l} \le m _ {\mathrm{max}} +1$ と 下限 $ m _ {\mathrm{min}} $ s.t. $ m _ {\mathrm{min}} -1 \le -\sqrt{\lambda_l} \le m _ {\mathrm{min}} $ が存在するためである(i.e. $ m _ {\mathrm{min}} \le m \le m _ {\mathrm{max}} $ ).

このことから, $ \hat{ L} _ + |l,m _ {\mathrm{max}} \rangle =0 , \hat{ L} _ - |l,m _ {\mathrm{min}} \rangle =0 $ でないといけない. ▶詳細

そして, $ m _ {\mathrm{max}}=-m _ {\mathrm{min}} $ である. ▶導出

$ m_{\mathrm{max}} = l $ と置くと,式\eqref{eq:ll}より $ \lambda_l = l (l+1) $ である.

また, $ -l \le m \le l $ であり, $ m $ は1づつ増減するので $ -l $ から $ l $ までの幅 $ 2l $ は整数である.よって $ l $ に許される値は $ 0,1/2,1,3/2,2,\cdots $ である.

以上より, $ m =-l, -l+1,-l+2,\cdots,l-2,l-1,l $ である.

参考文献

現代の量子力学(上) 第2版 (物理学叢書)

現代の量子力学(上) 第2版 (物理学叢書)

  • 作者: J.J.サクライ,J.ナポリターノ,J.J. Sakurai,Jim Napolitano,桜井明夫
  • 出版社/メーカー: 吉岡書店
  • 発売日: 2014/04/10
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