角運動量演算子 $ \hat{\boldsymbol{L}}^2, \hat{L} _ z $ は可換でそれぞれエルミート演算子なので，
▶証明
エルミート性
\begin{equation}
\hat{L} _ i ^\dagger =( \epsilon _{ijk} \hat{x}_j \hat{p}_k)^\dagger = \epsilon _{ijk} \underbrace{\hat{p}_k\hat{x}_j }_{\rlap{k\ne j なので= \hat{x}_j \hat{p}_k}}
= \hat{L} _ i
\end{equation}
固有状態 $ |l,m\rangle $ と $ \lambda_l , m \in \mathbb{R} $ を用いて
\begin{align}
\hat{\boldsymbol { L }} ^ { 2 } | l , m \rangle &= \hbar ^ { 2 } \lambda_l | l , m \rangle \\
\hat{L} _ { z } | l , m \rangle &= \hbar m | l , m \rangle
\end{align}
とおくことができる( $ \lambda_l $ と $ m $ は無関係とする)．
前記事（角運動量演算子と昇降演算子 - 三浦と窮理とブログ）
より，昇降演算子 $ \hat{L} _ \pm = \hat{L} _ x \pm i \hat{L} _ y$ は固有状態 $ | l , m \rangle $ を $ | l , m\pm1 \rangle $ に対応させる演算子であることが言える．(前記事では $ \lambda_l =l(l+1) $ と仮定してしまっていたが，この性質は $ \lambda_l ,m$ に依らず成り立つ．)
本記事では実際に $ \lambda_l =l(l+1)~,~ l=0,1/2,1,3/2,2,\cdots $ ． $ m = -l, -l+1,\cdots,l-1,l $ であることを示そう．
証明
$ | \hat{ L} _ { \pm } | l , m \rangle | ^ { 2 } \geq 0 $
より， $ \lambda_l $ が初めに与えられたとき， $ m $ には $ \lambda_l $ に依存した上限と下限が存在する．
なぜなら，連続値としての $ m $ の動ける範囲が $ - \sqrt{\lambda_l} \le m \le \sqrt{\lambda_l} $ であり，
▶導出
\begin{align}
0 &\le |\hat{ L} _ { \pm } | l , m \rangle | ^ { 2 }
= \langle l , m | \hat{L} _ { \mp } \hat{L} _ { \pm } | l , m \rangle
= \langle l , m | (\hat{\boldsymbol { L }} ^ { 2 } - {\hat{L} _ { z }}^2 \mp \hbar \hat{ L}_z ) | l , m \rangle
= \hbar^2 (\lambda_l - m^2 \mp m) \label{eq:lm}
\\
\therefore \quad 0&\le \langle l , m | \hat{L} _ { - } \hat{L} _ { + } | l , m \rangle + \langle l , m | \hat{L} _ { + } \hat{L} _ { - } | l , m \rangle
= 2\hbar^2 (\lambda_l - m^2 ) \\
\Leftrightarrow \quad m^2 &\le \lambda_l
\quad \Leftrightarrow \quad - \sqrt{\lambda_l} \le m \le \sqrt{\lambda_l}
\end{align}
$ m $ は昇降演算子によって1づつ増減するので， $ m $ を離散値として考えた時に上限 $ m _ {\mathrm{max}} $ s.t. $ m _ {\mathrm{max}} \le \sqrt{\lambda_l} \le m _ {\mathrm{max}} +1$ と
下限 $ m _ {\mathrm{min}} $ s.t. $ m _ {\mathrm{min}} -1 \le -\sqrt{\lambda_l} \le m _ {\mathrm{min}} $ が存在するためである(i.e. $ m _ {\mathrm{min}} \le m \le m _ {\mathrm{max}} $ )．
このことから， $ \hat{ L} _ + |l,m _ {\mathrm{max}} \rangle =0 , \hat{ L} _ - |l,m _ {\mathrm{min}} \rangle =0 $ でないといけない．
▶詳細
零ベクトルでない $ \hat{ L} _ + |l,m_{\mathrm{max}} \rangle \propto |l,m_{\mathrm{max}} +1 \rangle $ が存在した場合， $ m $ に上限が存在することにすぐさま矛盾する．
そして， $ m _ {\mathrm{max}}=-m _ {\mathrm{min}} $ である．
▶導出
$ \hat{ L} _ + |l,m _ {\mathrm{max}} \rangle =0 , \hat{ L} _ - |l,m _ {\mathrm{min}} \rangle =0 $ より，
\begin{align}
&\left \{
\begin{aligned}
0 &= |\hat{ L} _ { + } | l , m_{\mathrm{max}} \rangle | ^ { 2 } = \hbar^2 (\lambda_l - {m_{\mathrm{max}}}^2 - m_{\mathrm{max}}) \\
0 &= |\hat{ L} _ { - } | l , m_{\mathrm{min}} \rangle | ^ { 2 } = \hbar^2 (\lambda_l - {m_{\mathrm{min}}}^2 + m_{\mathrm{min}})
\end{aligned}
\right .
\quad \Leftrightarrow \quad
\left \{
\begin{aligned}
\lambda_l &= {m_{\mathrm{max}}}^2 + m_{\mathrm{max}} \\
\lambda_l &= {m_{\mathrm{min}}}^2 - m_{\mathrm{min}}
\end{aligned}
\right . \label{eq:ll}\\
&\Leftrightarrow \quad
\underbrace{{m_{\mathrm{max}}}^2 -{m_{\mathrm{min}}}^2}_{\rlap{=(m_{\mathrm{max}}+m_{\mathrm{min}})(m_{\mathrm{max}}-m_{\mathrm{min}})}} + m_{\mathrm{max}}+ m_{\mathrm{min}} = 0\\
&\Leftrightarrow \quad
(m_{\mathrm{max}}+m_{\mathrm{min}})\underbrace{(\underbrace{m_{\mathrm{max}}-m_{\mathrm{min}}}_{> 0} +1)}_{\ne 0} =0
\quad \Leftrightarrow \quad
m_{\mathrm{max}}+m_{\mathrm{min}} =0
\end{align}
$ m_{\mathrm{max}} = l $ と置くと，式\eqref{eq:ll}より $ \lambda_l = l (l+1) $ である．
また， $ -l \le m \le l $ であり， $ m $ は1づつ増減するので $ -l $ から $ l $ までの幅 $ 2l $ は自然数である．よって $ l $ に許される値は $ 0,1/2,1,3/2,2,\cdots $ である．
以上より， $ m =-l, -l+1,-l+2,\cdots,l-2,l-1,l $ である．
参考文献
