角運動量演算子 $ \hat{\boldsymbol{L}}^2, \hat{L} _ z $ とその固有状態 $ |l,m\rangle $ と昇降演算子 $ \hat{L} _ \pm = \hat{L} _ x \pm i \hat{L} _ y $ に対し，
\begin{align}
\hat{\boldsymbol { L }} ^ { 2 } | l , m \rangle &= \hbar ^ { 2 } l ( l + 1 ) | l , m \rangle \\
\hat{L} _ { z } | l , m \rangle &= \hbar m | l , m \rangle \\
\hat{L} _ { \pm } | l , m \rangle &= \hbar \sqrt { ( l \mp m ) ( l \pm m + 1 ) } | l , m \pm 1 \rangle \\
\langle l',m'| l , m \rangle &= \delta_{l'l} \delta_{m'm} \label{eq:llmm}
\end{align}
が成り立つ． $ l = 0 , 1/2 , 1, 3/2, \cdots $ ． $ -l \le m \le l $ ．
式\eqref{eq:llmm}以外の式は次の記事で説明している．
角運動量演算子の固有値が取ることができる値の導出 - 三浦と窮理とブログ
角運動量演算子と昇降演算子 - 三浦と窮理とブログ
$ l=1 $ の場合に $ |1,m\rangle ~(m=-1,0,1)$ を基底として $ \hat{\boldsymbol { L }} ^ { 2 },\hat{L} _ { x },\hat{L} _ { y },\hat{L} _ { z },\hat{L} _ \pm $ を行列表示すると，
\begin{align}
\hat{\boldsymbol { L }} ^ { 2 } &は 2\hbar^2 \begin{pmatrix} { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{pmatrix} ，&
\hat{L}_z &は \hbar \begin{pmatrix} { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 } \end{pmatrix} ，\\
\hat{L}_+ &は \hbar \begin{pmatrix} { 0 } & { \sqrt{2} } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \sqrt{2} } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{pmatrix} ，&
\hat{L}_- &は \hbar \begin{pmatrix} { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \sqrt{2} } & { 0 } & 0 \\ { 0 } & \sqrt{2} & { 0 } \end{pmatrix} ，\\
\hat{L}_x &= \frac{\hat{L}_+ +\hat{L}_-}{2} は \frac{\hbar}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} { 0 } & 1 & { 0 } \\ 1 & { 0 } & 1 \\ { 0 } & 1 & { 0 } \end{pmatrix} ，&
\hat{L}_y &= \frac{\hat{L}_+-\hat{L}_-}{2i} は \frac{\hbar}{i\sqrt{2}}\begin{pmatrix} { 0 } & 1 & { 0 } \\- 1 & { 0 } & 1 \\ { 0 } &- 1 & { 0 } \end{pmatrix}
\end{align}
となる．この行列が角運動量演算子の交換関係を満たすことも確認できる．
式\eqref{eq:llmm}の導出
$ | l , m \rangle $ は規格化してあるものとする．i.e. $ \langle l,m| l , m \rangle =1 $ ．
\begin{align}
\langle l',m'| \hat{\boldsymbol { L }} ^ { 2 }| l , m \rangle
&= \langle l',m'| (\hat{\boldsymbol { L }} ^ { 2 }| l , m \rangle )
= \hbar ^ { 2 } l ( l + 1 ) \langle l',m' | l , m \rangle \label{eq:migi}
\end{align}
一方，
\begin{align}
\langle l',m'| \hat{\boldsymbol { L }} ^ { 2 }| l , m \rangle
&= (\langle l',m'| \hat{\boldsymbol { L }} ^ { 2 })| l , m \rangle
= \hbar ^ { 2 } l' ( l' + 1 ) \langle l',m' | l , m \rangle \label{eq:hidari}
\end{align}
$ \eqref{eq:migi}-\eqref{eq:hidari} $
\begin{align}
\hbar^2 \underbrace{(l ( l + 1 ) - l' ( l' + 1 ))}_{=(l-l')(l+l')+l-l'} \langle l',m' | l , m \rangle &=0 \\
\Leftrightarrow \quad (l-l')\underbrace{(l+l'+1)}_{\rlap{l\ge 0,l'\ge 0 より \ne 0}} \langle l',m' | l , m \rangle &=0
\end{align}
よって $ l \ne l' $ ならば $ \langle l',m' | l , m \rangle =0 $ ．
同様に， $\langle l',m'| \hat{L} _ { z } | l , m \rangle = \hbar m' \langle l',m' | l , m \rangle =\hbar m \langle l',m' | l , m \rangle $ より， $ (m'-m) \langle l',m' | l , m \rangle =0 $ なので， $ m'\ne m $ ならば $ \langle l',m' | l , m \rangle =0 $ ．
以上より， $ \langle l',m'| l , m \rangle = \delta _ {l'l} \delta _ {m'm} $ である．
$ l=1 $ での行列表示
$ l=1 $ のとき，
\begin{align}
\langle 1,m'| \hat{\boldsymbol { L }} ^ { 2 }| 1 , m \rangle &= 2\hbar^2 \delta _ {m'm} \\
\langle 1,m'| \hat{L}_z| 1 , m \rangle &= \hbar m \delta _ {m'm} \\
\langle 1,m'| \hat{L}_\pm| 1 , m \rangle &= \hbar \sqrt { ( 1 \mp m ) ( 2 \pm m ) } \delta _ {m'm\pm 1}
\end{align}
となる．
