三浦ノート

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任意の複素正方行列は2つのユニタリー行列を用いて対角行列に変換できることの証明

任意の n 次複素正方行列 M (ただし det M ≠ 0 )は,2つのユニタリー行列 U,V を用いて, $ U ^ \dagger MV = M _ D $ ( $ M _ D $ は,対角成分がすべて正の実数である対角行列)と書くことができる.

これは bi-unitary 変換 とも言われる.

証明

M に対して目的のユニタリー行列 U , V と対角行列 MD を構成しよう.

$ M ^ \dagger M $ はエルミート行列なので,実数固有値で対角化可能である.

その固有値を $ \lambda _ i ~(i=1,\cdots,n) $ とし, $ \lambda _ i $ に対応する規格化された固有ベクトルを $ u _ i $ とする(i.e. $ M ^ \dagger M u _ i = \lambda _ i u _ i $ ).

仮定より $ \det (M ^ \dagger M) \ne 0 $ なので, $ \lambda _ i \ne 0 ~(i=1,\cdots,n) $ である.

$ u _ i $ を並べた行列 $ V:= (u _ 1,u _ 2\cdots,u _ n) $ はユニタリ行列であり, $ V ^ \dagger M ^ \dagger M V = \operatorname{diag}(\lambda _ 1,\lambda _ 2,\cdots,\lambda _ n) $ が成り立つ.

また, $ |Mu _ i| ^ 2 = u _ i ^ \dagger \underbrace{M ^ \dagger M u _ i} _ {=\lambda _ i u _ i}=\lambda _ i $ なので, $ \lambda _ i>0 $ である.

$M _ D := \operatorname{diag}(\frac{1}{\sqrt{\lambda _ 1}},\frac{1}{\sqrt{\lambda _ 2}},\cdots,\frac{1}{\sqrt{\lambda _ n}})$ とする.

$ U:= MVM _ D $ はユニタリ行列である

( $ \because U ^ \dagger U = M _ D V ^ \dagger M ^ \dagger MV M _ D= \operatorname{diag}(1,1,\cdots,1)$ ).

このように構成した二つのユニタリ行列 $ U,V $ によって $ U ^ \dagger M V = M _ D $ となる.

参考文献

別冊数理科学 CP対称性の破れ 2012年 06月号 [雑誌]

別冊数理科学 CP対称性の破れ 2012年 06月号 [雑誌]