三浦と窮理とブログ

主に自然科学について自分が勉強してきたことについて書いていきます.誰かの役に立ってくれれば嬉しいです.

任意の複素正方行列は2つのユニタリー行列を用いて対角行列に変換できることの証明

任意の n 次複素正方行列 M (ただし det M ≠ 0 )は,2つのユニタリー行列 U,V を用いて, $ U ^ \dagger MV = M _ D $ ( $ M _ D $ は,対角成分がすべて正の実数である対角行列)と書くことができる.これは bi-unitary 変換 とも言われる.

証明

M に対して目的のユニタリー行列 U , V と対角行列 MD を構成しよう.

$ M ^ \dagger M $ はエルミート行列なので,実数固有値で対角化可能である.その固有値を $ \lambda _ i ~(i=1,\cdots,n) $ とし, $ \lambda _ i $ に対応する規格化された固有ベクトルを $ u _ i $ とする(i.e. $ M ^ \dagger M u _ i = \lambda _ i u _ i $ ).仮定より $ \det (M ^ \dagger M) \ne 0 $ なので, $ \lambda _ i \ne 0 ~(i=1,\cdots,n) $ である. $ u _ i $ を並べた行列 $ V:= (u _ 1,u _ 2\cdots,u _ n) $ はユニタリ行列であり, $ V ^ \dagger M ^ \dagger M V = \operatorname{diag}(\lambda _ 1,\lambda _ 2,\cdots,\lambda _ n) $ が成り立つ.

また, $ |Mu _ i| ^ 2 = u _ i ^ \dagger \underbrace{M ^ \dagger M u _ i} _ {=\lambda _ i u _ i}=\lambda _ i $ なので, $ \lambda _ i>0 $ である.

$ U:= MV \operatorname{diag}(\frac{1}{\sqrt{\lambda _ 1}},\frac{1}{\sqrt{\lambda _ 2}},\cdots,\frac{1}{\sqrt{\lambda _ n}})$ はユニタリ行列である( $ \because U ^ \dagger U = V ^ \dagger M ^ \dagger MV \operatorname{diag}(\frac{1}{\lambda _ 1},\frac{1}{\lambda _ 2},\cdots,\frac{1}{\lambda _ n}) = \operatorname{diag}(1,1,\cdots,1)$ ).

このように構成した二つのユニタリ行列 $ U,V $ によって $ U ^ \dagger M V = \operatorname{diag}(\frac{1}{\sqrt{\lambda _ 1}},\frac{1}{\sqrt{\lambda _ 2}},\cdots,\frac{1}{\sqrt{\lambda _ n}}) $ となる.

参考文献

別冊数理科学 CP対称性の破れ 2012年 06月号 [雑誌]

別冊数理科学 CP対称性の破れ 2012年 06月号 [雑誌]