三浦と窮理とブログ

主に物理学・数学について自分が勉強してきたことについて書いていきます.誰かの役に立ってくれれば嬉しいです.

一様な磁場中のスピン状態の時間発展

$ z $ 方向の均一な磁場 $ \boldsymbol{B} = (0,0,B) $ 中の電子のスピンが,$ t=0 $ で $ +x $ 方向を向いている. スピンの運動に関するハミルトニアンは, ボーア磁子 を $ \beta _ B = e\hbar /2m_ec $ とすると, $ \hat{H} = - \frac{2\beta _ { B } B}{\hbar} \hat{S} _ { z } $ と表される. 時刻 $ t>0 $ でのこの電子のスピン状態 $ | \chi ( t ) \rangle $ は, $ z $ 方向のスピン角運動量演算子 $ \hat{S} _ z $ の固有値 $ \pm \hbar /2 $ の固有状態 $ | \pm \frac { 1 } { 2 } \rangle $ を用いて

\begin{equation} | \chi ( t ) \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \exp \left ( i \frac{\beta _ { B } B}{\hbar} t \right ) | \frac { 1 } { 2 } \rangle + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \exp \left ( -i \frac{\beta _ { B } B}{\hbar} t \right ) | - \frac { 1 } { 2 } \rangle \end{equation}

と表される. 時刻 $ t $ で電子のスピンが $ S _ x = \frac{\hbar }{2} $ と観測される確率は $ \displaystyle \cos ^ 2 \left ( \frac{\beta _ B B}{\hbar} t \right ) $ である.

導出

電子のスピン状態 $ | \chi ( t ) \rangle $ を,

\begin{equation} | \chi ( t ) \rangle = a ( t ) | \frac { 1 } { 2 } \rangle + b ( t ) | - \frac { 1 } { 2 } \rangle \end{equation}

と表すとする. $ x $ 方向のスピン角運動量演算子 $ \hat{S} _ x $ の固有値 $ \pm \hbar /2 $ の固有状態は $ |\pm x \rangle := \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( | \frac { 1 } { 2 } \rangle \pm | - \frac { 1 } { 2 } \rangle ) $ である *1. よって $ a(0) = b(0) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } $ である.

よってシュレーディンガー方程式より,

\begin{align} | \chi ( t ) \rangle &= e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H} t} | \chi ( 0 ) \rangle = \exp \left ( \frac{i}{\hbar} \frac{2\beta _ { B } B}{\hbar} \hat{S} _ { z } t \right ) \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( | \frac { 1 } { 2 } \rangle + | - \frac { 1 } { 2 } \rangle ) \\ &= \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \exp \left ( i \frac{\beta _ { B } B}{\hbar} t \right ) | \frac { 1 } { 2 } \rangle + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \exp \left ( -i \frac{\beta _ { B } B}{\hbar} t \right ) | - \frac { 1 } { 2 } \rangle \end{align}
\begin{equation} \Leftrightarrow\quad a(t) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \exp \left ( i \frac{\beta _ { B } B}{\hbar} t \right ) ~,~ b(t) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \exp \left ( -i \frac{\beta _ { B } B}{\hbar} t \right ) \end{equation}

と求まる.

時刻 $ t $ で電子のスピンが $ S _ x = \frac{\hbar }{2} $ と観測される確率 $ |\langle \chi (t) | +x \rangle | ^ 2$は

\begin{align} \langle +x |\chi (t) \rangle &= \frac{1}{2} \left [\langle \frac{1}{2}|+ \langle -\frac{1}{2}|\right ]\left [\exp \left ( i \frac{\beta _ { B } B}{\hbar} t \right ) | \frac { 1 } { 2 } \rangle + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \exp \left ( -i \frac{\beta _ { B } B}{\hbar} t \right ) | - \frac { 1 } { 2 } \rangle \right ] \\ &= \frac{1}{2} \left [ \exp \left ( i \frac{\beta _ { B } B}{\hbar} t \right ) + \exp \left (- i \frac{\beta _ { B } B}{\hbar} t \right ) \right ] = \cos \left ( \frac{\beta _ { B } B}{\hbar} t \right ) \\ |\langle \chi (t) | +x \rangle | ^ 2 &= \cos^2 \left ( \frac{\beta _ { B } B}{\hbar} t \right ) \end{align}

と求まる.