$ z $ 方向の均一な磁場 $ \boldsymbol{B} = (0,0,B) $ 中の電子のスピンが，$ t=0 $ で $ +x $ 方向を向いている．
スピンの運動に関するハミルトニアンは，
ボーア磁子
を $ \beta _ B = e\hbar /2m_ec $ とすると， $ \hat{H} = - \frac{2\beta _ { B } B}{\hbar} \hat{S} _ { z } $ と表される．
時刻 $ t>0 $ でのこの電子のスピン状態 $ | \chi ( t ) \rangle $ は， $ z $ 方向のスピン角運動量演算子 $ \hat{S} _ z $ の固有値 $ \pm \hbar /2 $ の固有状態 $ | \pm \frac { 1 } { 2 } \rangle $ を用いて
\begin{equation}
| \chi ( t ) \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \exp \left ( i \frac{\beta _ { B } B}{\hbar} t \right ) | \frac { 1 } { 2 } \rangle
+ \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \exp \left ( -i \frac{\beta _ { B } B}{\hbar} t \right ) | - \frac { 1 } { 2 } \rangle
\end{equation}
と表される．
時刻 $ t $ で電子のスピンが $ S _ x = \frac{\hbar }{2} $ と観測される確率は $ \displaystyle \cos ^ 2 \left ( \frac{\beta _ B B}{\hbar} t \right ) $ である．
導出
電子のスピン状態 $ | \chi ( t ) \rangle $ を，
\begin{equation}
| \chi ( t ) \rangle = a ( t ) | \frac { 1 } { 2 } \rangle + b ( t ) | - \frac { 1 } { 2 } \rangle
\end{equation}
と表すとする．
$ x $ 方向のスピン角運動量演算子 $ \hat{S} _ x $ の固有値 $ \pm \hbar /2 $ の固有状態は $ |\pm x \rangle := \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( | \frac { 1 } { 2 } \rangle \pm | - \frac { 1 } { 2 } \rangle ) $ である
*1．
よって $ a(0) = b(0) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } $ である．
よってシュレーディンガー方程式より，
\begin{align}
| \chi ( t ) \rangle &= e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H} t} | \chi ( 0 ) \rangle
= \exp \left ( \frac{i}{\hbar} \frac{2\beta _ { B } B}{\hbar} \hat{S} _ { z } t \right ) \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( | \frac { 1 } { 2 } \rangle + | - \frac { 1 } { 2 } \rangle )
\\
&= \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \exp \left ( i \frac{\beta _ { B } B}{\hbar} t \right ) | \frac { 1 } { 2 } \rangle
+ \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \exp \left ( -i \frac{\beta _ { B } B}{\hbar} t \right ) | - \frac { 1 } { 2 } \rangle
\end{align}
\begin{equation}
\Leftrightarrow\quad a(t) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \exp \left ( i \frac{\beta _ { B } B}{\hbar} t \right )
~,~ b(t) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \exp \left ( -i \frac{\beta _ { B } B}{\hbar} t \right )
\end{equation}
と求まる．
時刻 $ t $ で電子のスピンが $ S _ x = \frac{\hbar }{2} $ と観測される確率 $ |\langle \chi (t) | +x \rangle | ^ 2$は
\begin{align}
\langle +x |\chi (t) \rangle &= \frac{1}{2} \left [\langle \frac{1}{2}|+ \langle -\frac{1}{2}|\right ]\left [\exp \left ( i \frac{\beta _ { B } B}{\hbar} t \right ) | \frac { 1 } { 2 } \rangle
+ \exp \left ( -i \frac{\beta _ { B } B}{\hbar} t \right ) | - \frac { 1 } { 2 } \rangle \right ]
\\
&= \frac{1}{2} \left [ \exp \left ( i \frac{\beta _ { B } B}{\hbar} t \right ) + \exp \left (- i \frac{\beta _ { B } B}{\hbar} t \right ) \right ]
= \cos \left ( \frac{\beta _ { B } B}{\hbar} t \right )
\\
|\langle \chi (t) | +x \rangle | ^ 2 &= \cos^2 \left ( \frac{\beta _ { B } B}{\hbar} t \right )
\end{align}
と求まる．
