三浦と窮理とブログ

主に物理学・数学について自分が勉強してきたことについて書いていきます.誰かの役に立ってくれれば嬉しいです.

一様な外磁場中のスピン角運動量演算子の時間発展

外磁場 $ \boldsymbol{B} $ と電子の相互作用エネルギーは $ H = - \boldsymbol{\mu}\cdot\boldsymbol{B} = \frac{e}{mc}\boldsymbol{S}\cdot\boldsymbol{B} $ で与えられる.ここに $ \boldsymbol{S} $ は電子のスピンである. このスピン演算子の時間発展 $ \hat{\boldsymbol{S}}(t) $ はハイゼンベルグ運動方程式より

\begin{equation} \frac { d \hat{\boldsymbol { S }} ( t ) } { d t } = - \frac { e } { m c } \hat{\boldsymbol { S }} ( t ) \times \boldsymbol { B } \end{equation}

である.

$ \langle \hat{\boldsymbol{S}} (0) \rangle = (\frac { \hbar } { 2 },0,0) , B = ( 0,0 , B ) $ とするとき,時刻 $ t $ でのスピンの期待値は,$ \omega = e B / m _ e c $ と $ x,y $ 方向の単位ベクトル $ \boldsymbol{e} _ { x } , \boldsymbol{e} _ { y } $ を用いて

\begin{equation} \langle \hat{\boldsymbol { S }} ( t ) \rangle = \left( \frac { \hbar } { 2 } \cos \omega t \right) \boldsymbol { e } _ { x } + \left( \frac { \hbar } { 2 } \sin \omega t \right) \boldsymbol { e } _ { y } \end{equation}

に従う.これはスピンが $ xy $ 平面上で角速度 $ \omega $ で回転している様子を表している.

導出

スピン角運動量演算子 $ \hat{\boldsymbol{ S }}(t) $ に対するハイゼンベルグ運動方程式は,

\begin{align} \frac{d\hat{S}_i }{dt} (t) &= \frac{1}{i\hbar } \frac{e}{m_e c}\underbrace{[\hat{S}_i,\hat{S}_j B_j]}_{=[\hat{S}_i,\hat{S}_j ]B_j} = \frac{e}{i\hbar m_e c} i\hbar \underbrace{\epsilon_{ijk}}_{\rlap{=-\epsilon_{ikj}}} \hat{S}_k B_j = - \frac{e}{ m_e c}\epsilon_{ikj} \hat{S}_k B_j \label{eq:85hei} \end{align}

である.$ B = ( 0,0 , B ) $ と仮定すると式\eqref{eq:85hei}は,

\begin{equation} \frac{d\hat{S}_x }{dt} (t) = - \omega \hat{S}_y(t) ~,~ \frac{d\hat{S}_y }{dt} (t) = \omega \hat{S}_x (t) ~,~ \frac{d\hat{S}_z }{dt} (t) = 0 \end{equation}

であり,

\begin{equation} \frac{d^2\hat{S}_x }{dt^2} (t) = - \omega^2 \hat{S}_x(t) ~,~ \frac{d^2\hat{S}_y }{dt^2} (t) = - \omega^2 \hat{S}_y (t) ~,~ \hat{S}_z(t)=\hat{S}_z(0) \end{equation}

より,

\begin{align} \hat{S}_x(t) &= \hat{S}_x(0) \cos \omega t - \hat{S}_y(0) \sin \omega t \\ \hat{S}_y(t) &= \hat{S}_y(0) \cos \omega t + \hat{S}_x(0) \sin \omega t \end{align}

となる.よって

\begin{align} \langle \hat{S}_x(t) \rangle &= \underbrace{\langle \hat{S}_x(0)\rangle}_{=\frac{\hbar}{2}} \cos \omega t -\underbrace{ \langle \hat{S}_y(0)\rangle}_{=0} \sin \omega t = \frac{\hbar}{2} \cos \omega t \\ \langle \hat{S}_y(t)\rangle &= \langle \hat{S}_y(0)\rangle \cos \omega t + \langle \hat{S}_x(0)\rangle \sin \omega t = \frac{\hbar}{2} \sin \omega t \\ \langle \hat{S}_z(t)\rangle &= 0 \end{align}

である.よって

\begin{equation} \langle \hat{\boldsymbol { S }} ( t ) \rangle = \left( \frac { \hbar } { 2 } \cos \omega t \right) \boldsymbol { e } _ { x } + \left( \frac { \hbar } { 2 } \sin \omega t \right) \boldsymbol { e } _ { y } \end{equation}

である.