2つの可換な角運動量演算子の和は角運動量演算子である

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2つの角運動量演算子の和は角運動量演算子である

二つの角運動量演算子$ \hat{\boldsymbol{J}} _ 1,\hat{\boldsymbol{J}} _ 2 $が可換であるとき，その線形和で角運動量演算子になるのは $ \hat{\boldsymbol{J}} _ 1 + \hat{\boldsymbol{J}} _ 2 $ のみである．

導出

$ \hat{\boldsymbol{J}} := \alpha \hat{\boldsymbol{J}} _ 1 + \beta \hat{\boldsymbol{J}} _ 2 ~(\alpha,\beta\ne 0) $ が角運動量演算子の代数（SU(2)のリー代数 $ [\hat{J} _ i,\hat{J} _ j] = i\hbar \epsilon _ {ijk}\hat{J} _ k $）を満たすための $ \alpha,\beta $ の必要十分条件を求めればよい．

\begin{align} [\hat{J}_i,\hat{J}_j] &= [\alpha \hat{J}_{1i} + \beta \hat{J}_{2i}, \alpha \hat{J}_{1j} + \beta \hat{J}_{2i}] \\ &= \alpha^2\underbrace{[\hat{J}_{1i},\hat{J}_{1j}]}_{=i\hbar \epsilon_{ijk}\hat{J}_{1k}} + \alpha\beta(\underbrace{[\hat{J}_{1i},\hat{J}_{2i}]}_{=0}+\underbrace{[\hat{J}_{2i},\hat{J}_{1j}]}_{=0})+\beta^2\underbrace{[\hat{J}_{2i},\hat{J}_{2i}]}_{=i\hbar \epsilon_{ijk}\hat{J}_{2k}} \\ &= i\hbar \epsilon_{ijk} (\alpha^2 \hat{J}_{1k} + \beta^2 \hat{J}_{2k}) \end{align}

より，$ \hat{\boldsymbol{J}} $ が角運動量演算子の代数を満たすならば，

\begin{align} &\alpha^2 \hat{J}_{1k} + \beta^2 \hat{J}_{2k} = \alpha \hat{J}_{1k} + \beta \hat{J}_{2k} \\ \Leftrightarrow\quad &\alpha(\alpha-1) \hat{J}_{1k} + \beta(\beta-1) \hat{J}_{2k} =0 \\ \Leftrightarrow\quad &\alpha=\beta =1 \end{align}

である．逆に $ \alpha=\beta =1 $ ならば $ \hat{\boldsymbol{J}} $ は角運動量演算子の代数を満たす．

スピン軌道相互作用が働く系での保存量

スピン軌道相互作用がはたらく粒子のハミルトニアンが $ H = \frac { 1 } { 2 m } p ^ { 2 } + V ( r ) + U \hbar \boldsymbol { L } \cdot \boldsymbol { \sigma } $ で表されるとき，$ \boldsymbol { L } $ 自身は運動の保存量ではなく， $ \boldsymbol{J} = \boldsymbol{L} + \frac { \hbar } { 2 } \boldsymbol{\sigma} $ が保存量になっている．

導出

軌道角運動量演算子を $ \hat{\boldsymbol{ L }} $ ，スピン角運動量演算子を $ \hat{\boldsymbol{S}} $ と表すとする． スピン自由度は空間自由度とは独立なので，この系の固有状態は位置固有状態 $ |\boldsymbol{x}\rangle $ とスピン状態 $ |\pm \rangle $ のテンソル積 $ |\boldsymbol{x} , \pm \rangle := |\boldsymbol{x}\rangle \otimes |\pm \rangle $ で表される．この固有状態 $ |\boldsymbol{x} , \pm \rangle $ への演算子の作用は $ \hat{\boldsymbol{ L }} $ と $ \hat{\boldsymbol{S}} $ の順番に依らない．すなわち $ \hat{\boldsymbol{ L }} $ と $ \hat{\boldsymbol{S}} $ は可換である．

この系のハミルトニアンに対応した演算子は $ \hat{H} = \frac { 1 } { 2 m } \hat{p} ^ { 2 } + V ( r ) + 2U \hat{\boldsymbol { L }} \cdot \hat{\boldsymbol{S}} $ であり，$ \hat{\boldsymbol{J}} = \hat{\boldsymbol { L }} + \hat{\boldsymbol{S}} $ は前述の主張より角運動量演算子である． これらの演算子のハイゼンベルグ運動方程式により保存量を調べる．

(参考) 角運動量演算子の交換関係の公式の導出 - 三浦と窮理とブログ

\begin{align} i\hbar \frac{d\hat{L}_i}{d t} &= [\hat{L}_i,\hat{H}] = \underbrace{[\hat{L}_i,\frac { 1 } { 2 m } \hat{p} ^ { 2 } + V ( r )]}_{=0} + 2U[\hat{L}_i, \hat{L}_j \hat{S}_j] = 2U\underbrace{[\hat{L}_i, \hat{L}_j ]}_{=i\hbar \epsilon_{ijk} \hat{L}_k}\hat{S}_j \ne 0 \\ i\hbar \frac{d \hat{J}_i}{d t} &= [\hat{J}_i,\hat{H}] = [\hat{L}_i,\hat{H}] + [\hat{S}_i,\hat{H}] = 2U i\hbar \epsilon_{ijk} \hat{L}_k\hat{S}_j + 2U \underbrace{[\hat{S}_i, \hat{L}_j \hat{S}_j]}_{=\hat{L}_j[\hat{S}_i, \hat{S}_j]} \\ &= 2U i\hbar( \epsilon_{ijk} \hat{L}_k\hat{S}_j + \underbrace{\epsilon_{ijk}}_{\rlap{=-\epsilon_{ikj}}} \hat{L}_j\hat{S}_k) = 2U i\hbar( \epsilon_{ijk} \hat{L}_k\hat{S}_j-\epsilon_{ijk}\hat{L}_k\hat{S}_j) =0 \end{align}

より主張は示された．