3粒子系の合成角運動量の状態数を数える例題

3個の粒子系を考える． 各粒子の角運動量を表す演算子を $ \hat{J} _ 1 , \hat{J} _ 2,\hat{J} _ 3 $ と表し，粒子系全体の合成角運動量演算子を $ \hat{J} $ と表すとする．

ここで，各粒子が角運動量 $ \ell _ 1 = 4 , \ell _ 2 =3 , \ell _ 3 =2 $ をもつ場合を考える．

この粒子系の全角運動量 $ j $ のとりうる値は $ 0\le j \le 9 $ である．

そして，この全角運動量の全状態数は315である．

この全状態数は，3粒子を独立に扱って得られる全状態数 $ (2\ell _ 1+1)(2\ell _ 2+1)(2\ell _ 2+1) =9\cdot 7\cdot 5 = 315$ に等しい．

詳細

3つの角運動量演算子の合成をするために，まず $ \hat{J} _ 1 $ と $ \hat{J} _ 2 $ の合成角運動量演算子 $ \hat{J} _ {12} $ を考え，その次に $ \hat{J} _ {12} $ と $ \hat{J} _ 3 $ の合成角運動量演算子として $ \hat{J} $ を求める．

$ \hat{J} _ 1 $ と $ \hat{J} _ 2 $ の合成角運動量演算子 $ \hat{J} _ {12} $ の角運動量 $ j _ {12} $ がとりうる値は

\begin{align} |\ell _ 1 - \ell _ 2| &\le j _ {12} \le \ell _ 1 + \ell _ 2 \\ \Rightarrow\quad 1 &\le j _ {12} \le 7 \end{align}

である．よって，$ \hat{J} _ {12} $ と $ \hat{J} _ 3 $ の合成角運動量演算子 $ \hat{J} $ の角運動量 $ j $ がとりうる値は

\begin{align} |j _ {12} - \ell _ 3| &\le j \le j _ {12} + \ell _ 3 \\ \Rightarrow\quad |j _ {12} - 2| &\le j \le j _ {12} + 2 \\ \Rightarrow\quad 0 &\le j \le 9 \end{align}

である．

系は角運動量 $j$ に対し $2j+1$ 個の状態をとることができるので，この全角運動量の状態数は

\begin{align} \sum_{j_{12}=1}^{7} \sum_{j=|j_{12}-2|}^{j_{12}+2} (2j+1) &= \sum_{j_{12}=1}^{7} \left ( 2 \sum_{j=|j_{12}-2|}^{j_{12}+2} j +(j_{12}+2-|j_{12}-2|+1) \right ) \\ &= \sum_{j_{12}=1}^{7} \Big( (j_{12}+2+|j_{12}-2|)(j_{12}-|j_{12}-2|+3) +(j_{12}-|j_{12}-2|+3)\Big) \\ &= \sum_{j_{12}=1}^{7} (j_{12}+|j_{12}-2|+3)(j_{12}-|j_{12}-2|+3) \\ &= \sum_{j_{12}=1}^{7} \Big( \underbrace{(j_{12}+3)^2 -|j_{12}-2|^2}_{=10j_{12}+5} \Big) \\ &= 315 \end{align}

となる．

合成する順番が違う場合でも全状態数は変わらない

$ \hat{J} _ 1 $ と $ \hat{J} _ 3 $ の合成角運動量演算子 $ \hat{J} _ {13} $ の角運動量 $ j _ {13} $ は $ 2 \le j _ {13} \le6 $ の値をとりうる．そして $ \hat{J} _ {13} $ と $ \hat{J} _ 2 $ の合成角運動量演算子 $ \hat{J} $ の角運動量 $ j $ は $ |j _ {13} - 3| \le j \le j _ {13} + 3 $ の値をとりうる． よって全状態数は

\begin{equation} \sum_{j_{13}=2}^{6} \sum_{j=|j_{13}-3|}^{j_{13}+3} (2j+1) =315 \end{equation}

である．

同様に$ \hat{J} _ 2 $ と $ \hat{J} _ 3 $ の合成角運動量演算子 $ \hat{J} _ {23} $ と $ \hat{J} _ 1 $ を合成した角運動量演算子の全状態数も315である．