三浦と窮理とブログ

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位相空間論のコンパクト性についての例題

位相空間論のコンパクト性についての例題を解きましたので,解答を載せていきます. $\DeclareMathOperator*{\scup}{\cup}$

目次

定義

位相空間 $ (X,\mathcal{O}) $ 上の部分集合 $ A $ の開被覆とは,開集合族

\begin{equation} \{O _ \lambda \} _ {\lambda\in\Lambda} \subset \mathcal{O} ~\mathrm{s.t.}~ A \subset \bigcup _ {\lambda\in\Lambda} O _ \lambda \end{equation}

のことをいう. $ \Lambda $ が有限集合の場合,有限開被覆という.


位相空間 $ (X,\mathcal{O}) $ 上の部分集合 $ A $ がコンパクト(集合)である.

⇕def

$ A $ の任意の開被覆 $ \{U _ \lambda \} _ {\lambda\in\Lambda} $ に対して,有限個の添え字

\begin{equation} \lambda _ 1 ,\cdots, \lambda _ n \in \Lambda ~\mathrm{s.t.}~ A \subset \bigcup ^ n _ {i=1} U _ {\lambda _ i} \end{equation}

が存在する.

(i.e. 任意の開被覆が有限部分開被覆を持つ)

とくに全空間 $ X $ がコンパクトの時, $ (X,\mathcal{O}) $ をコンパクト空間という.

・対偶

$ A $ がコンパクト集合ではない

$ A $ の開被覆 $ \{U _ \lambda \} _ {\lambda\in\Lambda} $ で,その有限部分集合 $ \{U _ {\lambda _ i} \} _ {i=1} ^ n ~(\lambda _ i\in\Lambda) $ の全てが $\displaystyle A \not\subset \scup _ {i=1} ^ n U _ i $ となるものが存在する. (i.e. 有限部分被覆ができない開被覆が存在する.)


集合 $ X $ に対し, $\{\emptyset,X\} $ は $ X $ の位相となり, $ (X, \{\emptyset,X\} ) $ を密着空間という.


・ハイネ―ボレルの定理

$ n $ 次元ユークリッド空間の部分集合 $ K $ がコンパクトである.⇔ $ K $ は有界閉集合である.

コンパクトではない集合の例

1次元ユークリッド空間 $ \mathbb{R} $ 内の開区間 $ A=(0,1) $ はコンパクトではない.

・証明

開区間 $ O _ n := (0, 1-\frac{1}{n}) $ は任意の $ n\in \mathbb{N} $ において $ \mathbb{R} $ の開集合であり,

\begin{equation} A \subset \bigcup _ {n\in\mathbb{N}} O _ n \end{equation}

なので, $ \{O _ n\} _ {n\in\mathbb{N}} $ は $ A $ の開被覆である.

しかし,この開被覆 $ \{O _ n\} _ {n\in\mathbb{N}} $ のどんな有限部分集合を取っても $ A $ を被覆することはできない.

実際,任意の有限部分集合 $ \{O _ {n _ i}\} _ {i=1} ^ n ~(n _ i \in \mathbb{N})$ に対し,

\begin{equation} 1- \frac{1}{2\max _ i\{ n _ i\}} \in A \end{equation}

であるが,

\begin{equation} 1- \frac{1}{2\max _ i\{ n _ i\}} \notin \scup _ {i=1} ^ n O _ {n _ i} \end{equation}

である.

よって, $ A $ はコンパクトではないことが言える.

f:id:OviskoutaR:20190203125229p:plain:w300

▶TikZコード

n次元ユークリッド空間 $ \mathbb{R} ^ n $ はコンパクトではない

開球 $ B _ n(0;m) := \{ x\in \mathbb{R} ^ n ~|~ d(0,x) < m \} $ は開集合である.

$ \{B _ n(0,m)\} _ {m\in\mathbb{N} } $ は $ \mathbb{R} ^ n $ を被覆する.

しかし, $ \{B _ n(0,m)\} _ {m\in\mathbb{N} } $ のどんな有限部分集合をとっても $ \mathbb{R} ^ n $ を被覆することはできない.

よって, $ \mathbb{R} ^ n $ はコンパクトではないことが言える.

密着空間 $ (X, \{\emptyset,X \} ) $ はすべての部分集合がコンパクトである

空でない部分集合 $ A \subset X $ に対し,この開被覆は全部で $ \{X\} , \{\emptyset,X\} $ である.これはどちらも有限被覆である.

$ A=\emptyset $ の場合は, $ A $ の開被覆は $ \{\emptyset\} , \{X\}, \{\emptyset,X\} $ である.これらは全て有限被覆である.

よって,任意の $ A\subset X $ はコンパクトである.

2つのコンパクト集合の和集合もコンパクト集合である

位相空間 $ X $ のコンパクト集合 $ K _ 1,K _ 2 $ と,その和集合 $ K:= K _ 1 \cup K _ 2 $ を考える.

$ K $ の任意の開被覆 $ \{U _ \lambda\} _ {\lambda\in \Lambda} $ は $ K _ 1,K _ 2 $ の開被覆でもある.

$ K _ 1,K _ 2 $ のコンパクト性より, $ K _ 1 $ の有限被覆 $ \{ U _ {\lambda _ i} \} _ {i=1} ^ n ~(\lambda _ i \in \Lambda) $ と, $ K _ 2 $ の有限被覆 $ \{ U _ {\lambda _ i} \} _ {i=n+1} ^ m ~(\lambda _ i\in \Lambda) $ が存在する.

$\displaystyle K \subset \scup _ {i=1} ^ m U _ {\lambda _ i} $ である.

よって $ K $ はコンパクトである.

コンパクト空間の閉部分集合はコンパクトである.

コンパクト空間 $ X $ の閉部分集合 $ F $ の任意の開被覆 $ \{U _ \lambda\} _ {\lambda\in\Lambda} $ を考える.

$ F $ の補集合 $ F ^ c := X-F $ は開集合であり, $\{ \{U _ \lambda\} _ {\lambda\in\Lambda} , F ^ c \}$ は $ X $ の開被覆となる.

$ X $ のコンパクト性より, $ X $ の有限被覆 $ \{\{ U _ {\lambda _ i} \} _ {i=1} ^ n , F ^ c\} ~(\lambda _ i \in \Lambda)$ が存在する.

よって

\begin{equation} F \subset X \subset (\scup _ {i=1} ^ n U _ {\lambda _ i}) \cup F ^ c \end{equation}

なので,

\begin{align} F &= F \cap F \\ &\subset \left ((\scup _ {i=1} ^ n U _ {\lambda _ i}) \cup F ^ c \right ) \cap F = \Bigr (\scup _ {i=1} ^ n (\underbrace{U _ {\lambda _ i} \cap F} _ {\subset U _ {\lambda _ i}}) \Bigr ) \cup \underbrace{(F ^ c\cap F)} _ {=\emptyset} \\ &\subset \scup _ {i=1} ^ n U _ {\lambda _ i} \end{align}

である.よって $ \{ U _ {\lambda _ i} \} _ {i=1} ^ n $ は $ F $ の有限被覆である.

よって, $ F $ はコンパクトである.

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▶TikZコード

直交行列全体の集合はコンパクトである.

実数を成分に持つ2次正方行列全体の集合を $ M(2,\mathbb{ R }) $ とする. $ M(2,\mathbb{ R }) $ の4つの成分を4次元ユークリッド空間 $ \mathbb{ R } ^ 4 $ の成分とみなすことで, $ M(2,\mathbb{ R }) $ に $ \mathbb{ R } ^ 4 $ の通常の位相を考える.

$ O _ 2(\mathbb{ R }) $ を2次直交行列全体の集合としたとき,この集合は $ M(2,\mathbb{ R }) $ のコンパクト集合になる.

・証明

直交行列を $ T = \begin{pmatrix}x & y \\ z & w\end{pmatrix} $ とする.

直交行列の条件より,

\begin{align} \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = { ^ tT} T = \begin{pmatrix}x & z \\ y & w\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x & y \\ z & w\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x ^ 2 +z ^ 2 & xy+zw \\ xy+zw & y ^ 2+w ^ 2\end{pmatrix} \end{align}

より, $ x ^ 2 +z ^ 2 = y ^ 2+w ^ 2 =1 ~\Rightarrow ~ x ^ 2 + y ^ 2+z ^ 2 +w ^ 2 =2 $ である.

すなわち,

\begin{align} O _ 2(\mathbb{ R }) &=\{ T \in M(2,\mathbb{ R }) ~|~ { ^ tT}T = T{ ^ tT} =I \} \\ &= \{ (x,y,z,w) \in \mathbb{ R } ^ 4 ~|~ x ^ 2 +z ^ 2 = y ^ 2+w ^ 2 =1 , xy+zw=0 \} \\ &\subset \{ (x,y,z,w) \in \mathbb{ R } ^ 4 ~|~ x ^ 2 + y ^ 2+z ^ 2 +w ^ 2 =2 , xy+zw=0 \} \\ &\subset S ^ 3 \end{align}

である.3次元球面 $ S ^ 3 $ は有界閉集合なのでハイネ―ボレルの定理よりコンパクトである.

そして, $ S ^ 3 $ の閉部分集合 $ O _ 2(\mathbb{ R }) $ もコンパクトである.

閉区間[0,1]と開区間(0,1)は同相ではない

1次元ユークリッド空間 $ \mathbb{R} $ 内の部分集合に通常の位相の相対位相をあたえて考える.

このとき,閉区間[0,1]と開区間(0,1)は同相ではない.

・証明

$ [0,1] \simeq (0,1) $ と仮定する.

よって,同相写像 $ f : [0,1] \to (0,1) $ が存在する.

[0,1] は $ \mathbb{R} $ 内の有界閉集合なので,ハイネ―ボレルの定理より [0,1] はコンパクトである.

よって, $ (0,1) = f([0,1]) $ はコンパクトである.

しかし,実際は (0,1) はコンパクトではないので矛盾する.

よって, $ [0,1] \not\simeq (0,1) $ である.

閉区間[0,1]と1次元ユークリッド空間 $ \mathbb{R} $ は同相ではない

$ [0,1] \simeq \mathbb{R} $ と仮定する.

よって,同相写像 $ f : [0,1] \to \mathbb{R} $ が存在する.

[0,1] は $ \mathbb{R} $ 内の有界閉集合なので,ハイネ―ボレルの定理より [0,1] はコンパクトである.

よって, $ \mathbb{R} = f([0,1]) $ はコンパクトである.

しかし,実際は $ \mathbb{R} $ はコンパクトではないので矛盾する.

よって, $ [0,1] \not\simeq \mathbb{R} $ である.

1次元ユークリッド空間 $ \mathbb{R} $ がコンパクトにならない位相の例

実数全体 $ \mathbb{R} $ の部分集合族 $ \mathcal { O } = \{ ( a , + \infty ) | a \in \mathbb { R } \} \cup \{ \emptyset , \mathbb { R } \} $ は, $ \mathbb{R} $ の位相になる.

参考 位相空間の開集合・閉集合・連続写像の例題 - 三浦と窮理とブログ

この位相空間 $ (\mathbb{ R },\mathcal{ O }) $ はコンパクトではない.

・証明

$ \{( a , + \infty )\} _ {a\in\mathbb{ R }} $ は $ \mathbb{ R } $ の開被覆である.

しかし, $ \{( a , + \infty )\} _ {a\in\mathbb{ R }} $ からどんな有限部分集合をとっても $ \mathbb{ R } $ を被覆することはできない.

実際,任意の有限部分集合 $ \{( a _ i , + \infty )\} _ {i=1} ^ n ~(a _ i\in\mathbb{ R }) $ に対して, $\displaystyle \min _ i \{a _ i\} -1 \notin \scup _ {i=1} ^ n ( a _ i , + \infty ) $ である.

特殊線形群 $ SL _ 2(\mathbb{ R} ) $ はコンパクトではない

実数を成分に持つ2次正方行列全体の集合を $ M(2,\mathbb{ R }) $ とする. $ M(2,\mathbb{ R }) $ の4つの成分を4次元ユークリッド空間 $ \mathbb{ R } ^ 4 $ の成分とみなすことで, $ M(2,\mathbb{ R }) $ に $ \mathbb{ R } ^ 4 $ の通常の位相を考える.

$ \mathbb{ R } ^ 4 $ にはユークリッド距離 $ d $ を与えるとする.

このとき, $ SL _ 2(\mathbb{ R }) $ は非有界なのでハイネ―ボレルの定理より $ \mathbb{ R } ^ 4 $ のコンパクト集合ではない.

すなわち, $ SL _ 2(\mathbb{ R }) $ は $ M(2,\mathbb{ R }) $ のコンパクト集合ではない.

・非有界性の証明

任意の実数 $ M>0 $ に対して, $ P(M) := \begin{pmatrix}M & 0 \\ 0 & \frac{1}{M}\end{pmatrix} \in SL _ 2(\mathbb{ R }) $ は, $ d(0,P) = \sqrt{M ^ 2 + \frac{1}{M ^ 2} } >M $ である.

よって任意の半径 $ M $ よりも原点から遠い元 $ P(M) \in SL _ 2(\mathbb{ R }) $ が存在するので, $ SL _ 2(\mathbb{ R }) $ は非有界である.