三浦と窮理とブログ

主に自然科学について自分が勉強してきたことについて書いていきます.誰かの役に立ってくれれば嬉しいです.

縮小写像の原理の応用練習問題

縮小写像の原理(バナッハの不動点定理)を用いて次の命題を示そう.

バナッハの不動点定理 - Wikipedia

1 くり返した写像について

(X,d) を完備な距離空間,f : X → X を写像とする.この写像を k 回くり返した写像 fk = f ◦ f ◦…◦ f が k ≥ 2 において縮小写像であるとする.

このとき,f は X 上に不動点を一つ持つ.

証明

存在性

(X,d) は完備な距離空間であり,fk は縮小写像なので,縮小写像の原理よりfk(x) = x となる x ∈ X が一意的に存在する.一方で fk(f(x)) = f(fk(x)) = f(x) なので f(x) は fk の不動点である.fk の不動点の一意性よりf(x) = x である.すなわち f も不動点を持つことが言えた.

一意性

任意の x , x' ∈ X に対してf(x) = x , f(x') = x' と仮定する.この仮定よりfk(x) = x , fk(x') = x' なのでx とx' はどちらも fk の不動点である.fk の不動点の一意性よりx = x' である.よって f の不動点は一意に存在することが示された.

2 非線形積分方程式への応用

C[0,1] = { f : [0,1] → ℝ | f は連続関数 } ,||u|| := max{ u(x) | 0 ≤ x ≤ 1 } とする.ある定数 α ∈ ℝ と,ある連続関数 f ∈ C[0,1] に対して,u に関する次の非線形積分方程式

\begin{equation} u(x) = \alpha \int_{0}^{1} \sin u(y) dy + f(x) \label{eq:int} \end{equation}

は |α| < 1 ならば解を一つ持つ.

証明

X := C[0,1],距離関数 $ d(u,v):= ||u-v|| ~(\forall u,v \in X)$ として,$ (X,d) $ は完備である. 写像 $ F:X\to X $ を

\begin{equation} F(u)(x) := \alpha \int_{0}^{1} \sin u(y) dy + f(x) ~(u\in X) \end{equation}

とおく.$ |\alpha|<1 $ のとき F は縮小写像になることを示そう.

$ \forall u,v \in X $ に対し,

\begin{align} d(F(u),F(v)) &= ||F(u)-F(v) || = \max_{0\le x \le 1} |F(u)(x)-F(v)(x)| = \max_{0\le x \le 1} \left |\alpha \int_{0}^{1} \sin u(y) dy - \alpha \int_{0}^{1} \sin v(y) dy\right | \\ &= |\alpha| \left |\int_{0}^{1} (\sin u(y) - \sin v(y)) dy \right | \le |\alpha| \int_{0}^{1}| \sin u(y) - \sin v(y) |dy \\ &\le |\alpha| \underbrace{\int_{0}^{1}dy}_{=1}\max_{0\le y \le 1}| \sin u(y) - \sin v(y) | =|\alpha| \max_{0\le y \le 1} 2\left | \sin \left (\frac{u(y)-v(y)}{2} \right ) \cos \left (\frac{u(y)+v(y)}{2} \right ) \right | \\ &\le 2|\alpha| \max_{0\le y \le 1} \underbrace{\left | \sin \left (\frac{u(y)-v(y)}{2} \right ) \right |}_{\le \frac{|u(y)-v(y)|}{2}} \underbrace{\left |\cos \left (\frac{u(y)+v(y)}{2} \right ) \right |}_{\le 1} \le |\alpha| \max_{0\le y \le 1} |u(y)-v(y)| = |\alpha| d(u,v) \end{align}

となる.よって $ |\alpha|<1 $ の場合, F は縮小写像である.よって縮小写像の原理より F(u)=u となる関数 u ∈ X が1つ存在する.すなわち式 \eqref{eq:int} の解が1つ存在することが示された.