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電弱理論・中性カレント過程の散乱断面積の計算ノート

Cheng & Li 『Gauge theory of elementary particle physics』p365 から説明されている素粒子の散乱過程についての計算ノートをまとめる.

Gauge Theory Of Elementary Particle Physics (Oxford Science Publications)

Gauge Theory Of Elementary Particle Physics (Oxford Science Publications)

  • 作者:Ta-Pei Cheng
  • 出版社/メーカー: Oxford University Press, U.S.A.
  • 発売日: 1995/08/10
  • メディア: ペーパーバック

目次

散乱断面積の計算

$\nu _ \mu + e \to \nu _ \mu + e$ 散乱

低エネルギー領域における $ \nu _ \mu +e \to \nu _ \mu +e $ の散乱断面積を求める. f:id:OviskoutaR:20191220124849p:plain

▶TikZコード

散乱振幅 $ T _ \nu(\lambda,\lambda') $ は上の右図のファインマン則から,

\begin{align} T _ {\nu} (\lambda,\lambda') &= \frac{g ^ 2}{4{M _ Z} ^ 2 \cos\theta _ W} g ^ \nu _ L [\bar{u}(k') \gamma _ \mu (1-\gamma _ 5)u(k)] \{\bar{u}(p',\lambda') [g ^ e _ L\gamma _ \mu (1-\gamma _ 5)+ g ^ e _ R\gamma _ \mu (1+\gamma _ 5)]u(p,\lambda)\} \end{align}

である.絶対値の2乗は

\begin{align} &|T _ {\nu} (\lambda,\lambda') | ^ 2=T _ {\nu} (\lambda,\lambda') T _ {\nu} (\lambda,\lambda') ^ * \\ &= 2 {G _ F} ^ 2 {g ^ \nu _ L} ^ 2 [\bar{u}(k') \gamma _ \mu (1-\gamma _ 5)u(k)][\bar{u}(k') \gamma _ \nu (1-\gamma _ 5)u(k)] ^ \dagger \\ &\quad \times \{\bar{u}(p',\lambda') [g ^ e _ L\gamma _ \mu (1-\gamma _ 5)+ g ^ e _ R\gamma _ \mu (1+\gamma _ 5)]u(p,\lambda)\} \{\bar{u}(p',\lambda') [g ^ e _ L\gamma _ \nu (1-\gamma _ 5)+ g ^ e _ R\gamma _ \nu (1+\gamma _ 5)]u(p,\lambda)\} ^ \dagger \\ &= 2 {G _ F} ^ 2 {g ^ \nu _ L} ^ 2 [\bar{u}(k') \gamma _ \mu (1-\gamma _ 5)u(k)][\bar{u}(k) \gamma _ \nu (1-\gamma _ 5)u(k')] \\ &\quad \times \{\bar{u}(p',\lambda') [g ^ e _ L\gamma _ \mu (1-\gamma _ 5)+ g ^ e _ R\gamma _ \mu (1+\gamma _ 5)]u(p,\lambda)\} \{\bar{u}(p,\lambda) [g ^ e _ L\gamma _ \nu (1-\gamma _ 5)+ g ^ e _ R\gamma _ \nu (1+\gamma _ 5)]u(p',\lambda')\} \end{align}

スピン $ \lambda,\lambda' $ について,入射電子は無偏極とするので平均を取り,散乱電子のスピンは和をとる.

ディラックスピノル $ u(k,\lambda) $ についての公式 $\sum _ {\lambda} u(k,\lambda)\bar{u}(k,\lambda) = \not k +m $ を用いて,

\begin{align} \frac{1}{2} \sum _ {\lambda,\lambda'} |T _ \nu (\lambda,\lambda') | ^ 2 &= (G _ F g ^ \nu _ L) ^ 2 L ^ - _ {\mu\nu}(k,k') [{g ^ e _ L} ^ 2 L ^ {-\mu\nu}(p,p') + {g ^ e _ R} ^ 2 L ^ {+\mu\nu} (p,p')] \\ L ^ {\pm} _ {\mu\nu} (k,k') &\equiv \operatorname{tr} [ \not k' \gamma _ \mu (1\pm\gamma _ 5) \not k \gamma _ \nu (1\pm \gamma _ 5)] \\ &= 8(k' _ \mu k _ \nu + k' _ \nu k _ \mu - k \cdot k' g _ {\mu\nu} \mp i\varepsilon _ {\alpha\mu\beta\nu} k ^ {\prime \alpha}k ^ \beta ) \\ &= 8(k _ \nu k' _ \mu + k _ \mu k' _ \nu - k' \cdot k g _ {\mu\nu} \pm i\varepsilon _ {\beta\mu\alpha\nu} k ^ \beta k ^ {\prime \alpha} ) \\ &= L ^ {\mp} _ {\mu\nu}(k',k) \end{align}

となる.レプトンの質量は無視する.そして,4元運動量保存 $ k+p = k' + p' $(または $ k-p' = k' - p $) より両辺を2乗すると \begin{equation} (k\cdot p) = (k'\cdot p') \quad, \quad (k'\cdot p) = (k \cdot p') \end{equation} である.よって

\begin{align} L ^ - _ {\mu\nu} (k,k') L ^ {\mp\mu\nu} (p,p') &= 64(k' _ \mu k _ \nu + k' _ \nu k _ \mu - k \cdot k' g _ {\mu\nu} + i\varepsilon _ {\alpha\mu\beta\nu} k ^ {\prime \alpha}k ^ \beta ) \\ &\qquad\quad \times (p ^ {\prime\mu} p ^ \nu + p ^ {\prime\nu} p ^ \mu - p \cdot p' g ^ {\mu\nu} \pm i\varepsilon ^ {\gamma\mu\lambda\nu} p' _ \gamma p _ \lambda ) \\ &= 64 \Big\{ (k' _ \mu k _ \nu + k' _ \nu k _ \mu - k \cdot k' g _ {\mu\nu})(p ^ {\prime\mu} p ^ \nu + p ^ {\prime\nu} p ^ \mu - p \cdot p' g ^ {\mu\nu}) \\ &\qquad\quad \pm i\underbrace{(k' _ \mu k _ \nu + k' _ \nu k _ \mu - k \cdot k' g _ {\mu\nu}) \varepsilon ^ {\gamma\mu\lambda\nu}} _ {=0} p' _ \gamma p _ \lambda \\ &\qquad\quad + ik ^ {\prime \alpha}k ^ \beta \underbrace{\varepsilon _ {\alpha\mu\beta\nu} (p ^ {\prime\mu} p ^ \nu + p ^ {\prime\nu} p ^ \mu - p \cdot p' g ^ {\mu\nu} )} _ {=0} \\ &\qquad\quad \mp\underbrace{ \varepsilon _ {\alpha\mu\beta\nu} \varepsilon ^ {\gamma\mu\lambda\nu}} _ {\rlap{=-2(\delta _ \alpha ^ \gamma \delta _ \beta ^ \lambda - \delta _ \alpha ^ \lambda \delta _ \beta ^ \gamma)}} k ^ {\prime \alpha}k ^ \beta p' _ \gamma p _ \lambda \Big\} \\ &=64 \Big\{ (k'\cdot p')(k\cdot p) + (k'\cdot p)(k\cdot p') - \cancel{(k'\cdot k)(p\cdot p')} \\ &\qquad\quad +(k' \cdot p)(k\cdot p') +(k'\cdot p')(k \cdot p) - \cancel{(k'\cdot k)(p\cdot p')} \\ &\qquad\quad - \cancel{(k\cdot k')(p'\cdot p)} - \cancel{(k\cdot k')(p'\cdot p)} +\cancel{4 (k\cdot k')(p \cdot p') } \\ &\qquad\quad \pm 2[ (k'\cdot p')(k\cdot p) - (k'\cdot p)(k \cdot p')]\Big\} \\ &= 128 \{ (k\cdot p) ^ 2 + (k'\cdot p) ^ 2 \pm [ (k\cdot p) ^ 2 - (k'\cdot p) ^ 2 ] \} \\ &= \begin{cases} 16 ^ 2 (k\cdot p) ^ 2 \\ 16 ^ 2 (k'\cdot p) ^ 2 \end{cases} \\ L ^ + _ {\mu\nu} (k,k') L ^ {+\mu\nu} (p,p') &= 16 ^ 2 (k\cdot p) ^ 2 \\ \frac{1}{2} \sum _ {\lambda,\lambda'} |T _ \nu (\lambda,\lambda') | ^ 2 &= (16G _ Fg ^ \nu _ L) ^ 2[{g ^ e _ L} ^ 2(k\cdot p) ^ 2 + {g ^ e _ R} ^ 2(k'\cdot p) ^ 2] \end{align}

である.

微分断面積は以下で与えられる.

\begin{align} &d\sigma = \frac{1}{2E _ \nu} \frac{1}{2m _ e} \frac{1}{|\boldsymbol{v}|} (2\pi) ^ 4 \delta ^ 4(k+p-k'-p') \left (\frac{1}{2} \sum |T _ \nu| ^ 2 \right ) \frac{d ^ 3 k'}{(2\pi) ^ 3 2k' _ 0} \frac{d ^ 3 p'}{(2\pi) ^ 3 2p' _ 0} \\ &|\boldsymbol{v}| は入射粒子の相対速度.\nonumber \end{align}

これはローレンツ不変である.ここでは実験室系で全断面積 $ \sigma(\nu _ \mu e) $ を計算する. f:id:OviskoutaR:20191220125423p:plain

▶TikZコード

\begin{align} &k=(E _ \nu,\boldsymbol{k}) ~,~ p=(m _ e,0) ~,~ k'=(E' _ \nu,\boldsymbol{k}') ~,~ p' = (E _ e,\boldsymbol{p}') \\ &E _ e \gg m _ e ~,~ E _ \nu = |\boldsymbol{k}| ~,~ E' _ \nu = |\boldsymbol{k}'| ~,~ E _ e = |\boldsymbol{p}'| \\ & |\boldsymbol{v}| = |\boldsymbol{k}|/ E _ \nu=1 \\ & 0\le E _ e \le E _ \nu ~,~ 0 \le \theta \le \pi \end{align}

まずは位相空間を先に計算する.

\begin{equation} \int (2\pi) ^ 4 \delta ^ 4(k+p-k'-p') \frac{d ^ 3 k'}{(2\pi) ^ 3 2E' _ \nu} \frac{d ^ 3 p'}{(2\pi) ^ 3 2E _ e} \end{equation}

実験室系では,

\begin{equation} = \frac{1}{16\pi ^ 2} \int \delta(E _ \nu-E' _ \nu-E _ e) \delta ^ 3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}'-\boldsymbol{p}') \frac{d ^ 3 k'}{E' _ \nu} \frac{d ^ 3 p'}{E _ e} \end{equation}

まず $ k' $ の積分を実行する. そして $ p' $ について極座標にする.

\begin{align} d ^ 3p'&=|\boldsymbol{p}'| ^ 2d|\boldsymbol{p}'| d(\cos\theta)2\pi ={E _ e} ^ 2dE _ e d(\cos\theta)2\pi \\ &-1 \le \cos \theta \le 1 \end{align}

なので,

\begin{equation} = \frac{1}{8\pi} \int _ 0 ^ {E _ \nu} \int _ {-1} ^ 1 \delta(E _ \nu-E' _ \nu-E _ e) \frac{E _ e}{E' _ \nu} dE _ e d(\cos\theta) \end{equation}

ここで

\begin{align} &E' _ \nu =|\boldsymbol{k}'|=|\boldsymbol{k}-\boldsymbol{p}'| = \sqrt{{E _ \nu} ^ 2 + {E _ e} ^ 2 -2E _ \nu E _ e \cos\theta } \\ &\frac{\partial E' _ \nu}{\partial(\cos\theta)} = -\frac{E _ \nu E _ e}{E' _ \nu} \\ &E _ \nu-E' _ \nu-E _ e=0 \Leftrightarrow \cos\theta =1 \end{align}

より

\begin{align} &=\frac{1}{8\pi} \int _ 0 ^ {E _ \nu} \int _ {-1} ^ 1 \left | \frac{\partial E' _ \nu}{\partial(\cos\theta)} \right | ^ {-1} \delta(\cos\theta -1) \frac{E _ e}{E' _ \nu} dE _ 2 d(\cos\theta) \\ &= \frac{1}{8\pi}\int _ 0 ^ {E _ \nu} \int _ {-1} ^ 1 \delta(\cos\theta -1) \frac{1}{E _ \nu} dE _ e d(\cos\theta) \\ &= \frac{1}{8\pi} \int _ 0 ^ {E _ \nu} \frac{dE _ e }{E _ \nu} \end{align}


となる.

よって全断面積は

\begin{align} \sigma(\nu _ \mu e) &= \int d\sigma = \int _ 0 ^ {E _ \nu} \frac{1}{32{E _ \nu} ^ 2 m _ e} \left (\frac{1}{2} \sum |T _ \nu| ^ 2 \right ) dE _ e \\ &= \int _ 0 ^ {E _ \nu} \frac{1}{32{E _ \nu} ^ 2 m _ e} (16G _ Fg ^ \nu _ L) ^ 2[{g ^ e _ L} ^ 2(E _ \nu m _ e) ^ 2 + {g ^ e _ R} ^ 2(E' _ \nu m _ e) ^ 2] dE _ e \\ &= \frac{8{G _ F} ^ 2 m _ e}{\pi} {g ^ \nu _ L} ^ 2 \int _ 0 ^ {E _ \nu} [{g ^ e _ L} ^ 2 + {g ^ e _ R} ^ 2(E' _ \nu/E _ e ) ^ 2] dE _ e \\ &E _ \nu-E' _ \nu-E _ e=0 より \nonumber \\ &= \frac{8{G _ F} ^ 2 m _ e}{\pi} {g ^ \nu _ L} ^ 2 \int _ 0 ^ {E _ \nu} [{g ^ e _ L} ^ 2 + {g ^ e _ R} ^ 2(E _ \nu/E _ e -1) ^ 2] dE _ e \\ &スケール変数 y=E _ \nu/E _ e を用いて \nonumber \\ &= \frac{8{G _ F} ^ 2 m _ e}{\pi} {g ^ \nu _ L} ^ 2 E _ \nu \int _ 0 ^ {1} [{g ^ e _ L} ^ 2 + {g ^ e _ R} ^ 2(y -1) ^ 2] dy \\ &= \frac{8{G _ F} ^ 2 m _ e}{\pi} {g ^ \nu _ L} ^ 2 E _ \nu [{g ^ e _ L} ^ 2 + \frac{1}{3}{g ^ e _ R} ^ 2] \label{eq:CLnue} \end{align}

となる.

$\bar{\nu} _ \mu + e \to \bar{\nu} _ \mu + e$ 散乱

以下の反ニュートリノの過程 $ \bar{\nu} _ \mu e \to \bar{\nu} _ \mu e $ についても同様の手順で低エネルギーの領域で求める. f:id:OviskoutaR:20191220132321p:plain:w500

▶TikZコード

\begin{align} T _ {\bar{\nu}} (\lambda,\lambda') &= \frac{g ^ 2}{4{M _ Z} ^ 2 \cos\theta _ W} g ^ \nu _ L [\bar{v}(k) \gamma _ \mu (1-\gamma _ 5)v(k')] \{\bar{u}(p',\lambda') [g ^ e _ L\gamma _ \mu (1-\gamma _ 5)+ g ^ e _ R\gamma _ \mu (1+\gamma _ 5)]u(p,\lambda)\} \\ \frac{1}{2} \sum |T _ {\bar{\nu}}| ^ 2 &= {G _ F} ^ 2 {g ^ \nu _ L} ^ 2 \underbrace{L ^ - _ {\mu\nu}(k',k)} _ {=L ^ + _ {\mu\nu}(k,k')} [{g ^ e _ L} ^ 2 L ^ {-\mu\nu}(p,p') + {g ^ e _ R} ^ 2 L ^ {+\mu\nu} (p,p')] \\ &= (16G _ F g ^ \nu _ L) ^ 2 [{g ^ e _ L} ^ 2 (k'\cdot p) ^ 2 + {g ^ e _ R} ^ 2 (k\cdot p) ^ 2] \\ \sigma(\bar{\nu} _ \mu e) &= \frac{8{G _ F} ^ 2 m _ e}{\pi} {g ^ \nu _ L} ^ 2 E _ \nu [\frac{1}{3}{g ^ e _ L} ^ 2 + {g ^ e _ R} ^ 2] \end{align}

$\nu _ e + e \to \nu _ e + e$ 散乱

以下の $ \nu _ e +e \to \nu _ e + e $ の過程は荷電カレントと中性カレントのどちらも寄与する. f:id:OviskoutaR:20191220132726p:plain ▶TikZコード

荷電カレントと中性カレントは散乱するフェルミオンが入れ替わっているので,散乱振幅には相対的に逆符号で寄与する.

\begin{align} T(\nu _ e e) &= -\frac{g ^ 2}{2{M _ W} ^ 2} [\frac{1}{2}\bar{u}(k')\gamma _ \mu (1-\gamma _ 5)u(p,\lambda)] [\frac{1}{2} \bar{u}(p',\lambda' )\gamma _ \mu (1-\gamma _ 5)u(k)] \\ &\quad +\frac{g ^ 2}{2{M _ W} ^ 2} \cdot 2 [\frac{1}{2} g ^ \nu _ L \bar{u}(k' )\gamma _ \mu (1-\gamma _ 5)u(k)] \Bigl\{\frac{1}{2} \bar{u}(p',\lambda')[ g ^ e _ L\gamma _ \mu (1-\gamma _ 5) + g ^ e _ R\gamma _ \mu (1+\gamma _ 5) ] u(p,\lambda) \Bigr\} \\ &第1項はフィルツ変換でu(p,\lambda)とu(k)を入れ替えると負符号がでるので.\nonumber \\ &= \frac{g ^ 2}{8{M _ W} ^ 2} [\bar{u}(k' )\gamma _ \mu (1-\gamma _ 5)u(k)] \\ &\quad \times \Bigr\{ [\bar{u}(p',\lambda')\gamma _ \mu (1-\gamma _ 5)u(p,\lambda)] +2 g ^ \nu _ L \bar{u}(p',\lambda')[ g ^ e _ L\gamma _ \mu (1-\gamma _ 5) + g ^ e _ R\gamma _ \mu (1+\gamma _ 5) ] u(p,\lambda) \Bigl\} \\ &= \frac{G _ F}{\sqrt{2}} [\bar{u}(k' )\gamma _ \mu (1-\gamma _ 5)u(k)] \Bigr\{ \bar{u}(p',\lambda')[ (1 + 2g ^ \nu _ L g ^ e _ L)\gamma _ \mu (1-\gamma _ 5) + 2g ^ \nu _ L g ^ e _ R\gamma _ \mu (1+\gamma _ 5) ] u(p,\lambda) \Bigl\} \\ &1= 2g ^ \nu _ L なので, \nonumber \\ &= \sqrt{2}G _ F g ^ \nu _ L[\bar{u}(k' )\gamma _ \mu (1-\gamma _ 5)u(k)] \Bigr\{ \bar{u}(p',\lambda')[ (1 + g ^ e _ L)\gamma _ \mu (1-\gamma _ 5) + g ^ e _ R\gamma _ \mu (1+\gamma _ 5) ] u(p,\lambda) \Bigl\} \end{align}

よって,

\begin{equation} \sigma(\nu _ e e) = \frac{8{G _ F} ^ 2 m _ e}{\pi} {g ^ \nu _ L} ^ 2 E _ \nu [(1+g ^ e _ L) ^ 2 + \frac{1}{3}{g ^ e _ R} ^ 2] \end{equation}

となる.

$\bar{\nu} _ e + e \to \bar{\nu} _ e + e$ 散乱

$ \bar{\nu} _ e +e \to \bar{\nu} _ e + e $ の過程も同様に計算できる. f:id:OviskoutaR:20191220134218p:plain ▶TikZコード

\begin{align} T(\bar{\nu} _ e e) &= -\frac{g ^ 2}{2{M _ W} ^ 2} [\frac{1}{2} \bar{u}(p',\lambda')\gamma _ \mu (1-\gamma _ 5)v(k' )][\frac{1}{2} \bar{v} (k)\gamma _ \mu (1-\gamma _ 5) u(p,\lambda)] \\ &\quad +\frac{g ^ 2}{2{M _ W} ^ 2} \cdot 2 [\frac{1}{2} g ^ \nu _ L \bar{v}(k )\gamma _ \mu (1-\gamma _ 5)v(k')] \Bigl\{\frac{1}{2} \bar{u}(p',\lambda')[ g ^ e _ L\gamma _ \mu (1-\gamma _ 5) + g ^ e _ R\gamma _ \mu (1+\gamma _ 5) ] u(p,\lambda) \Bigr\} \\ &この第1項もフィルツ変換によってv(k') とu(p,\lambda)を入れ替えられる.\nonumber \\ &= \sqrt{2}G _ F g ^ \nu _ L[\bar{v}(k )\gamma _ \mu (1-\gamma _ 5)v(k')] \Bigr\{ \bar{u}(p',\lambda')[ (1 + g ^ e _ L)\gamma _ \mu (1-\gamma _ 5) + g ^ e _ R\gamma _ \mu (1+\gamma _ 5) ] u(p,\lambda) \Bigl\} \end{align}

よって

\begin{equation} \sigma(\bar{\nu} _ e e) = \frac{8{G _ F} ^ 2 m _ e}{\pi} {g ^ \nu _ L} ^ 2 E _ \nu [\frac{1}{3}(1+g ^ e _ L) ^ 2 + {g ^ e _ R} ^ 2] \end{equation}

となる.