相加・相乗・調和平均の極限値

$\quad $

実数列 $ \{a _ n\}, a _ n>0 ~ (\forall n) $ に対して，相加平均 $ A _ n $ ，相乗平均 $ G _ n $ ，調和平均 $ H _ n $ は次のように定義される．

\begin{align} A _ n &= \frac{a _ 1 + a _ 2 + \cdots + a _ n}{n} \\ G _ n &= \sqrt[n]{a _ 1 a _ 2 \cdots a _ n} \\ \frac{1}{H _ n} &= \frac{1}{n} \left(\frac{1}{a _ 1} + \frac{1}{a _ 2} + \cdots + \frac{1}{a _ n}\right) \end{align}

次の二つが成り立つ．

Ⅰ. $ a _ n \to \alpha \ge 0, (n \to \infty) $ ならば，

\begin{align} A _ n &\to \alpha \label{eq:An1} \\ G _ n &\to \alpha \label{eq:Gn1} \\ H _ n &\to \alpha \label{eq:Hn1} \end{align}

Ⅱ. $ a _ n \to \infty, (n \to \infty) $ ならば，

\begin{align} A _ n &\to \infty \label{eq:An2} \\ G _ n &\to \infty \label{eq:Gn2} \\ H _ n &\to \infty \label{eq:Hn2} \end{align}

証明

式\eqref{eq:An1}の証明は本でよく見るので飛ばす．(定本 解析概論第1章4．)

次に式\eqref{eq:An2}を示す．

仮定より， $ \forall R \in \mathbb{R}, \exists k\in \mathbb{N} , n > k \Rightarrow a _ n > R $ である．今， $ n > k $ とすると，

\begin{align} A _ n = \frac{a _ 1 + a _ 2 + \cdots + a _ n}{n} > \frac{a _ 1 +\cdots + a _ k + R(n-k)}{n} > \frac{ R(n-k)}{n} = R(1- \frac{k}{n}) \to R \end{align}

なので式\eqref{eq:An2}が成り立つ．

$ 1/H _ n $ は $ 1/a _ n$ の相加平均なので， $ \alpha \ne 0 $ の場合， $1/a _ n \to 1/\alpha \Rightarrow 1/H _ n \to 1/\alpha$ である． $ \alpha = 0 $ の場合でも先ほど示されたように $1/a _ n \to \infty \Rightarrow 1/H _ n \to \infty$ が成り立つ．よって式\eqref{eq:Hn1} が成り立つ．

式\eqref{eq:Hn2}は $ 1/a _ n \to 0 \Rightarrow 1/H _ n \to 0 $ より成り立つ．

各 $ n $ に対して， $ H _ n \le G _ n \le A _ n $ なので式\eqref{eq:Gn1}と\eqref{eq:Gn2} が成り立つ．

式\eqref{eq:Gn1}の別証明

$ \epsilon-N $ 論法の練習として式\eqref{eq:Gn1}を $ \epsilon-N $ 論法でもう一度示す．

仮定より， $ \forall \epsilon > 0, \exists k\in \mathbb{N} , n > k \Rightarrow \alpha - \epsilon < a _ n < \alpha + \epsilon $ である． 今， $ n > k $ とすると，

\begin{align} |\sqrt[n]{a _ 1 a _ 2 \cdots a _ n} - \alpha | &< |\sqrt[n]{a _ 1\cdots a _ k (\alpha + \epsilon) ^ {n - k}} - \alpha | \\ M &= \max \{a _ 1,\cdots, a _ k\} とすると， \\ &< |\sqrt[n]{M ^ k (\alpha + \epsilon) ^ {n - k}} - \alpha | \\ &=\Bigl |(\alpha + \epsilon)\underbrace{\sqrt[n]{\left(\frac{M}{\alpha + \epsilon}\right) ^ k}} _ {十分大きいnで<1+\epsilon} - \alpha \Bigr| \label{eq:sqr} \\ &< |(\alpha + \epsilon)(1+\epsilon) - \alpha | \\ &= \epsilon(1 + \alpha + \epsilon) \end{align}

となる． $ \epsilon $ は任意なので $ G _ n \to \alpha $ が示された.

途中式の\eqref{eq:sqr}では， $ x>0,\sqrt[n]{x} \to 1 ~(n\to\infty)$ を用いた．