本記事のPDF版をBOOTHにて無料で公開しております．印刷して読みたい方など是非ご利用ください． 三浦と窮理とブログ--1 次元調和振動子の位置と運動量の行列要素の計算 - k-pmpstudy - BOOTH（同人誌通販・ダウンロード） 1次元調和振動子の波動関数はエル…

1次元調和振動子の位置と運動量の行列要素の計算 [PDFあり]

1次元調和振動子の波動関数はエルミート多項式を用いて $ \psi_n(\xi) = A_n H_n (\xi) e^{-\xi^2/2} $ と表せる．ここで，$ \xi =\sqrt{m\omega/\hbar} x $ ，$ A_n $ は規格化定数とする． ・規格化定数の決定 \begin{align} 1&= \int_{-\infty}^{\infty} …

1次元調和振動子の波動関数の規格化と基底状態・第1励起状態の存在確率の計算

$ U(1) $ゲージ場の場の強さ $ F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu $ から作られる擬スカラー量 $ \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma} $ に対し， \begin{equation} \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} F_{\mu\nu}F_{\rho\s…

U(1)ゲージ場の場の強さから作られる擬スカラー量の全微分形への変形

任意の無限小座標変換 $ x^\mu \to x'^\mu = x^\mu + \delta x^\mu $ において，体積要素 $ d^4x $ は \begin{equation}\label{eq:d4x} d^4x \to d^4x' = d^4x + d^4x\partial_\mu \delta x^\mu \end{equation} と変換されることを示そう． 小行列式と余因子…

無限小座標変換による体積要素の微小変化量

maxima で正方行列 X = (Xij) の(i,j)小行列式を全て書き出す関数が以下である． minors(X):=for i:1 while i<=matrix_size(X)[1] do (for j:1 while j<=matrix_size(X)[1] do print(i,j,"=",determinant(minor(X,i,j)))) 単純にminor関数を繰り返して計算し…

maximaで正方行列の小行列式を一度に全て計算して書き出す関数

mathtools パッケージに psmallmatrix環境が用意されていて，括弧つきの小さい行列を表示できる． 例 ・普通のpmatrixの場合 \begin{equation} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 1 & -3 & 3 \\ 1 & 3 & -3 \end{pmatrix} \end{equation} ・psmallmatrixの場合（…

LaTeXで括弧付きのsmallmatrixの入力の仕方

LaTeX で mathtools パッケージの \mathclap コマンドを使うことで，\underbrace で数式の下に長い説明を入れても数式の方に空白が出ないようにできる． 例 MathJaxではmathtoolsに対応してなくて中央寄せができないそうなので，以下に示す例は右寄せになっ…

LaTeXで \underbrace で数式の下に長めの文字列を表示しても空白が出ないようにする方法

九後汰一郎 『ゲージ場の量子論 I』p15 から以下の計算をまとめる． 作用積分 $ S[\varphi(x)] $ が場 $ \varphi(x) $ の無限小変換 \begin{equation} \varphi(x)_i \to \varphi'_i(x) = \varphi_i(x) + \epsilon G_i(\varphi(x)) \end{equation} について不…

ネーターカレントから得られる保存電荷と場のポアソン括弧と交換関係

私が Pierre Ramond ”Field Theory A Modern Primer” §1.3 の ”The Poincaré Group” を読んだときにやった計算を載せていく． 文字の定義 P：平行移動の生成子・運動量 L：軌道角運動量 M：ローレンツ変換の生成子 W：パウリ- ルバンスキーベクトル 目次 文…

ポアンカレ群の計算ノート

エルミート多項式 Hn(ξ) (n ≥ 0) は，以下の式を満たす． \begin{align} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_n(\xi)}{n!} t^n &= e^{-t^2 + 2\xi t} =: S(\xi,t) \label{eq:bo}\\ H'_n(\xi) &= 2nH_{n-1} (\xi) \label{eq:'}\\ H_{n+1}(\xi) &= 2\xi H_n(\xi) -2nH…

エルミート多項式の母関数と漸化式の導出