角運動量演算子 L = x × p とその大きさの2乗 L² は次の交換関係を満たす．εijkはレビチビタ記号．アインシュタインの総和記法を用いる．対称な添え字と反対称な添え字の縮約は0になることは以下のページで紹介している．
対称テンソルと反対称テンソルの縮約は０になることを示そう． 2階の対称テンソル Tij と2階の反対称テンソル Skl について，この2つの添え字の縮約を行う． 記法はアインシュタインの規約を用いる． Tij Sij = - Tji Sji = - Tij Sij （添え字を付け直した…
2次元等方調和振動子のハミルトニアン \begin{equation} \hat{ H } = \frac { 1 } { 2 m } ( {\hat{ p } _ { x }} ^ { 2 } + {\hat{ p } _ { y } }^ { 2 } ) + \frac { 1 } { 2 } m \omega ^ { 2 } ( \hat{ x } ^ { 2 } + \hat{ y } ^ { 2 } ) \end{equation…
3次元自由空間でのガウス波束 \begin{equation} \psi ( \vec{x} , t = 0 ) = \langle \vec{ x } |\psi,0\rangle= \exp \left( - \frac { \alpha } { 2 } | \vec { x } | ^ { 2 } + \frac { i \vec { p } _ { 0 } \cdot \vec { x } } { \hbar } \right) \end{…
質量 m の粒子が3次元非等方調和振動子のポテンシャル \begin{equation} V ( x , y , z ) = \frac { m } { 2 } ( {\omega _ { x }} ^ { 2 } x ^ { 2 } +{ \omega _ { y }} ^ { 2 } y ^ { 2 } + {\omega _ { z } }^ { 2 } z ^ { 2 } ) \end{equation} 中を運…
粒子が透過できない壁を持つ3辺の長さが $ x=a,y=b,z=c $ の直方体の箱に閉じ込められた質量 m の粒子を考える． ポテンシャルは \begin{align} V(\boldsymbol{x}) &= V(x) + V(y) + V(z) \\ V(x) &= \begin{cases}0&(0\le x \le a)\\\infty &(a \le x)\end{…
ポテンシャルが$ V ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) = V _ { 1 } ( x _ { 1 } ) + V _ { 2 } ( x _ { 2 } ) + V _ { 3 } ( x _ { 3 } ) $の形であるとき，時間に依存しないシュレディンガー方程式は次のように各座標成分について分離できる． \begin{…
自由粒子系と調和振動子系において，ハイゼンベルク表示の位置演算子$ \hat{x}(t) $と運動量演算子$ \hat{p}(t) $の時間発展を求める． 1次元自由粒子 1次元の自由粒子の系を考える．ハミルトニアンはハイゼンベルク表示で$ \hat{H}(t) = \frac{\hat{p} ^ 2(…
次の2つの井戸型ポテンシャル $ V(x) ,V'(x)$ 中の質量 $ m $ の粒子について，固有値問題が等価であることを示す． \begin{align} V ( x ) &= \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { ( x a ) } \\ { - V } & { ( 0 \frac { a } { 2 } \right) } \\ { - V…
位置演算子 $ \hat{x} $ と運動量演算子 $ \hat{ p } $ に対し，次の演算子 \begin{equation} \hat { G } _ { \epsilon } = \left( 1 + \frac { \hat { p } } { i \hbar } \epsilon \right) \end{equation} を定義する． $ \epsilon $ は微小量である．位置…
