外磁場 $ \boldsymbol{B} $ と電子の相互作用エネルギーは $ H = - \boldsymbol{\mu}\cdot\boldsymbol{B} = \frac{e}{mc}\boldsymbol{S}\cdot\boldsymbol{B} $ で与えられる．ここに $ \boldsymbol{S} $ は電子のスピンである． このスピン演算子の時間発展 …

$ z $ 方向の均一な磁場 $ \boldsymbol{B} = (0,0,B) $ 中の電子のスピンが，$ t=0 $ で $ +x $ 方向を向いている． スピンの運動に関するハミルトニアンは， ボーア磁子 を $ \beta _ B = e\hbar /2m_ec $ とすると， $ \hat{H} = - \frac{2\beta _ { B } B…

スピン1/2の場合について，スピン角運動量演算子$ \hat{S}_z $の固有値$ \pm \hbar /2 $の固有状態を$ |\pm\frac{1}{2} \rangle $と表すとする．すなわち次が成り立つ． \begin{equation} \hat{S}_z |\pm\frac{1}{2} \rangle = \pm \frac{\hbar}{2}|\pm\frac…

縮小写像の原理（バナッハの不動点定理）を用いて次の命題を示そう．この写像を k 回くり返した写像 fk = f ◦ f ◦…◦ f が k ≥ 2 において縮小写像であるとする．このとき，f は X 上に不動点を一つ持つ．非線形積分方程式への応用