物理学
気体の定圧比熱と定積比熱の差はで与えられる.また,温度変化に伴う体積変化が $ dV = (\partial V / \partial T) _ {過程} d T $ であるような準静的過程での比熱 $ C _ {過程} $ はエンタルピーを $ H=U+p V $ としたとき,比熱は熱力学第一法則より,
気体の体膨張率を $ \alpha $ ,等温圧縮率を $ \kappa _ T $ とするとき,次の関係が成り立つ. \begin{equation} \frac{1}{V} d V=\alpha d T-\kappa _ {T} d p \end{equation} $ \alpha $ と $ \beta $ が温度や圧力に依らぬ定数であったとし,温度 $ T _…
ファン・デル・ワースルの状態方程式で表される気体について.等温圧縮率熱圧力係数体膨張率である.次に,式\eqref{eq:netu5p}よりビリアル展開することを考える.となるので,第2ビリアル係数は $ b-\frac{a}{RT} $ である.この係数は高温では正の値 $ b $…
気体の状態方程式を $ f(p,T,V)=0 $ とする.関数 $ f $ を $ p,T,V $ で微分して得られる導関数をそれぞれ $ f _ p,f _ T,f _ V $ とする.これらを用いると\begin{alignat}{2}&等温圧縮率 \quad& \kappa _ T &=-\frac{1}{V}\left ( \frac{\partial V}{\par…
地球上で空気が高さ方向に静止していて熱平衡であり,温度が $ T $ とする.単位面積の底面をもつ空気柱を考える.高さ $ h $ と $ h+dh $ の間の圧力差 $ dp $ は \begin{equation} d p = - \rho ( h ) g d h \end{equation} となる. $ \rho(h) $ [質量/体…
接触式温度計で物体の温度を計る時,温度計の示度は温度計自体の温度を表しているため,温度計と熱平衡になった物体の温度を示している.温度計と接触させる前の物体の温度 $ T $ を求めよう. 物体の熱容量を $ C $ ,接触前の温度計の示度を $ T _ i $ ,…
3個の粒子系を考える. 各粒子の角運動量を表す演算子を J1 , J 2,J3 と表し,粒子系全体の合成角運動量演算子を J と表すとする. ここで,各粒子が角運動量 $ \ell _ 1 = 4 , \ell _ 2 =3 , \ell _ 3 =2 $ をもつ場合を考える. この粒子系の全角運動量 j …
次の教科書の11.2節より,SU(2)×U(1) 電弱理論における,電子ニュートリノ $\nu _ e$・電子 $e$ の弾性散乱を考える.散乱振幅 $T(\nu _ e e \to \nu _ e e) $において,荷電カレント相互作用の寄与は以下で表される.これがフィルツ変換により,に式変形で…
目次 2つの角運動量演算子の和は角運動量演算子である 導出 スピン軌道相互作用が働く系での保存量 導出 2つの角運動量演算子の和は角運動量演算子である 二つの角運動量演算子$ \hat{\boldsymbol{J}} _ 1,\hat{\boldsymbol{J}} _ 2 $が可換であるとき,その…
任意の n 次複素正方行列 M (ただし det M ≠ 0 )は,2つのユニタリー行列 U,V を用いて, U†MV = M _ D (M _ D は,対角成分がすべて正の実数である対角行列)と書くことができる.これは bi-unitary 変換 とも言われる.このことを証明しよう.
3次元等方調和振動子の系を角運動量固有状態で表そう.本記事では第1,2励起状態について考える.3次元等方調和振動子のハミルトニアンはと表される.生成消滅演算子による表示.シュウィンガーの振動子モデル.角運動量固有値による表示.
量子力学で現れる演算子,位置,運動量,角運動量を3次元極座標で表す.そして極座標での微分演算子のエルミート共役を求める.
角運動量演算子L²とLzとその固有状態|,m〉と昇降演算子L±に対し,この固有状態の直交性を示し,これらの演算子のl=1のときの行列表示を求める.
角運動量演算子L2,Lzの固有値が取ることのできる値を角運動量演算子の代数的性質から求める.l は正の半整数をとり,mは -l ≤m ≤ l となる.
角運動量演算子 L²,Lz の固有状態 |l,m〉と昇降演算子 L± = Lx ± iLy について次が成り立つ. 昇降演算子は |l,m±1〉の状態を作る演算子であることが分かる.
角運動量演算子 L = x × p とその大きさの2乗 L² は次の交換関係を満たす.εijkはレビチビタ記号.アインシュタインの総和記法を用いる.対称な添え字と反対称な添え字の縮約は0になることは以下のページで紹介している.
対称テンソルと反対称テンソルの縮約は0になることを示そう. 2階の対称テンソル Tij と2階の反対称テンソル Skl について,この2つの添え字の縮約を行う. 記法はアインシュタインの規約を用いる. Tij Sij = - Tji Sji = - Tij Sij (添え字を付け直した…
2次元等方調和振動子のハミルトニアン \begin{equation} \hat{ H } = \frac { 1 } { 2 m } ( {\hat{ p } _ { x }} ^ { 2 } + {\hat{ p } _ { y } }^ { 2 } ) + \frac { 1 } { 2 } m \omega ^ { 2 } ( \hat{ x } ^ { 2 } + \hat{ y } ^ { 2 } ) \end{equation…
3次元自由空間でのガウス波束 \begin{equation} \psi ( \vec{x} , t = 0 ) = \langle \vec{ x } |\psi,0\rangle= \exp \left( - \frac { \alpha } { 2 } | \vec { x } | ^ { 2 } + \frac { i \vec { p } _ { 0 } \cdot \vec { x } } { \hbar } \right) \end{…
質量 m の粒子が3次元非等方調和振動子のポテンシャル \begin{equation} V ( x , y , z ) = \frac { m } { 2 } ( {\omega _ { x }} ^ { 2 } x ^ { 2 } +{ \omega _ { y }} ^ { 2 } y ^ { 2 } + {\omega _ { z } }^ { 2 } z ^ { 2 } ) \end{equation} 中を運…
粒子が透過できない壁を持つ3辺の長さが x=a , y=b , z=c の直方体の箱に閉じ込められた質量 m の粒子を考える. ポテンシャルは \begin{align} V(\boldsymbol{x}) &= V(x) + V(y) + V(z) \\ V(x) &= \begin{cases}0&(0\le x \le a)\\\infty &(a \le x)\end{…
ポテンシャルが V( x1 , x2 , x3 ) = V1( x1 ) + V2( x2 ) + V3( x3 ) の形であるとき,時間に依存しないシュレディンガー方程式は次のように各座標成分について分離できる. \begin{align} &\psi ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) = \psi _ { 1 } ( x…
自由粒子系と調和振動子系において,ハイゼンベルク表示の位置演算子$ \hat{x}(t) $と運動量演算子$ \hat{p}(t) $の時間発展を求める. 1次元自由粒子 1次元の自由粒子の系を考える.ハミルトニアンはハイゼンベルク表示で$ \hat{H}(t) = \frac{\hat{p} ^ 2(…
次の2つの井戸型ポテンシャル V(x) ,V'(x) 中の質量 m の粒子について,固有値問題が等価であることを示す. \begin{align} V ( x ) &= \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { ( x a ) } \\ { - V } & { ( 0 \frac { a } { 2 } \right) } \\ { - V } & { …
位置演算子 $ \hat{x} $ と運動量演算子 $ \hat{ p } $ に対し,次の演算子 \begin{equation} \hat { G } _ { \epsilon } = \left( 1 + \frac { \hat { p } } { i \hbar } \epsilon \right) \end{equation} を定義する. ε は微小量である.位置演算子 $ \ha…
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1次元調和振動子のハミルトニアンは,運動量演算子 $ \hat{p} $ と座標演算子 $ \hat{x} $ を用いて \begin{equation} \hat { H } = \frac { \hat { p } ^ { 2 } } { 2 m } + \frac { m \omega ^ { 2 } \hat { x } ^ { 2 } } { 2 } \end{equation} のように…
目次 無限小正準変換はリー代数をなす ハミルトン方程式のシンプレクティック表示.正準変換の特徴付け. ポアソン括弧は正準変換で不変である 正準変換全体の集合は変換の合成を積として群をなす 無限小正準変換はリー代数をなす 相空間(q,p)上の物理量 f(q…
本記事のPDF版をBOOTHにて無料で公開しております.印刷して読みたい方など是非ご利用ください. 三浦と窮理とブログ--1 次元調和振動子の位置と運動量の行列要素の計算 - k-pmpstudy - BOOTH(同人誌通販・ダウンロード) 1次元調和振動子の波動関数はエル…
1次元調和振動子の波動関数はエルミート多項式を用いて $ \psi_n(\xi) = A_n H_n (\xi) e^{-\xi^2/2} $ と表せる.ここで,$ \xi =\sqrt{m\omega/\hbar} x $ ,$ A_n $ は規格化定数とする. ・規格化定数の決定 \begin{align} 1&= \int_{-\infty}^{\infty} …