三浦と窮理とブログ

主に自然科学について自分が勉強してきたことについて書いていきます.誰かの役に立ってくれれば嬉しいです.

縮小写像の原理の応用練習問題

縮小写像の原理(バナッハの不動点定理)を用いて次の命題を示そう.この写像を k 回くり返した写像 fk = f ◦ f ◦…◦ f が k ≥ 2 において縮小写像であるとする.このとき,f は X 上に不動点を一つ持つ.非線形積分方程式への応用

任意の複素正方行列は2つのユニタリー行列を用いて対角行列に変換できることの証明

任意の n 次複素正方行列 M (ただし det M ≠ 0 )は,2つのユニタリー行列 U,V を用いて, U†MV = M _ D (M _ D は,対角成分がすべて正の実数である対角行列)と書くことができる.これは bi-unitary 変換 とも言われる.このことを証明しよう.

コーシー積の公式の足し上げのイメージ

コーシー積の公式を少し詳しく書き下すと足し上げ方のイメージが確実になったと思うのでそれを共有する. ij 格子平面上の値 a_i b_j を考えた時,左辺の和は四角く足していくイメージ,右辺の和は3角形で足していくイメージである.無限和をとらないと成り…

3次元等方調和振動子系を角運動量固有状態で表す.

3次元等方調和振動子の系を角運動量固有状態で表そう.本記事では第1,2励起状態について考える.3次元等方調和振動子のハミルトニアンはと表される.生成消滅演算子による表示.シュウィンガーの振動子モデル.角運動量固有値による表示.

折り畳み式ノートパソコンスタンドの冷却性能の検証

Elekinの折りたたみ式ノートパソコンスタンドを買ったので冷却性能の検証をしてみた.このスタンドはファンも何もついていないただのスタンドだが,冷却効果が見られた.CINEBENCHでCPU使用率を100%にしている間のCPU温度をOpenHardwareMonitorで監視した.…

TeXデータを保存するメディアのフォーマットがexFATだとSumatraPDFが自動更新できなくなるので気を付けてください.

TeXのデータを保存するUSBメモリを変えたら,TexStudioでコンパイル後にSumatraPDFで自動更新してくれなくなった. [Changes detected; refreshing] %s (日本語だと [変更を検出: 更新中] %s )と出て止まってた. 原因は保存メディアのフォーマットがexFAT…

TOSHIBA dynabook R734/K ノートパソコンのメモリ増設

TOSHIBA dynabook R734/K にメモリを増設します.追加したメモリはTranscend PC3L-12800 DDR3L-1600 です.合計12GBになりました.作業の内容と動画を記録しました.

量子力学の3次元極座標表示と微分演算子のエルミート共役

量子力学で現れる演算子,位置,運動量,角運動量を3次元極座標で表す.そして極座標での微分演算子のエルミート共役を求める.

角運動量演算子の固有状態の直交性とスピン1での行列表示

角運動量演算子L²とLzとその固有状態|,m〉と昇降演算子L±に対し,この固有状態の直交性を示し,これらの演算子のl=1のときの行列表示を求める.

角運動量演算子の固有値が取ることができる値の導出

角運動量演算子L2,Lzの固有値が取ることのできる値を角運動量演算子の代数的性質から求める.l は正の半整数をとり,mは -l ≤m ≤ l となる.

角運動量演算子と昇降演算子

角運動量演算子 L²,Lz の固有状態 |l,m〉と昇降演算子 L± = Lx ± iLy について次が成り立つ. 昇降演算子は |l,m±1〉の状態を作る演算子であることが分かる.

角運動量演算子の交換関係の公式の導出

角運動量演算子 L = x × p とその大きさの2乗 L² は次の交換関係を満たす.εijkはレビチビタ記号.アインシュタインの総和記法を用いる.対称な添え字と反対称な添え字の縮約は0になることは以下のページで紹介している.

対称テンソルと反対称テンソルの縮約は0になることの証明

対称テンソルと反対称テンソルの縮約は0になることを示そう. 2階の対称テンソル Tij と2階の反対称テンソル Skl について,この2つの添え字の縮約を行う. 記法はアインシュタインの規約を用いる. Tij Sij = - Tji Sji = - Tij Sij (添え字を付け直した…

2次元等方調和振動子のハミルトニアンと角運動量演算子の生成消滅演算子による同時対角化

2次元等方調和振動子のハミルトニアン \begin{equation} \hat{ H } = \frac { 1 } { 2 m } ( {\hat{ p } _ { x }} ^ { 2 } + {\hat{ p } _ { y } }^ { 2 } ) + \frac { 1 } { 2 } m \omega ^ { 2 } ( \hat{ x } ^ { 2 } + \hat{ y } ^ { 2 } ) \end{equation…

3次元自由空間でのガウス波束の時間発展と期待値と分散

3次元自由空間でのガウス波束 \begin{equation} \psi ( \vec{x} , t = 0 ) = \langle \vec{ x } |\psi,0\rangle= \exp \left( - \frac { \alpha } { 2 } | \vec { x } | ^ { 2 } + \frac { i \vec { p } _ { 0 } \cdot \vec { x } } { \hbar } \right) \end{…

3次元非等方調和振動子の固有状態とエネルギー固有値

質量 m の粒子が3次元非等方調和振動子のポテンシャル \begin{equation} V ( x , y , z ) = \frac { m } { 2 } ( {\omega _ { x }} ^ { 2 } x ^ { 2 } +{ \omega _ { y }} ^ { 2 } y ^ { 2 } + {\omega _ { z } }^ { 2 } z ^ { 2 } ) \end{equation} 中を運…

直方体に閉じ込められた粒子の波動関数と縮退度

粒子が透過できない壁を持つ3辺の長さが x=a , y=b , z=c の直方体の箱に閉じ込められた質量 m の粒子を考える. ポテンシャルは \begin{align} V(\boldsymbol{x}) &= V(x) + V(y) + V(z) \\ V(x) &= \begin{cases}0&(0\le x \le a)\\\infty &(a \le x)\end{…

3次元定常シュレーディンガー方程式の変数分離

ポテンシャルが V( x1 , x2 , x3 ) = V1( x1 ) + V2( x2 ) + V3( x3 ) の形であるとき,時間に依存しないシュレディンガー方程式は次のように各座標成分について分離できる. \begin{align} &\psi ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) = \psi _ { 1 } ( x…

1 次元自由粒子と調和振動子でのハイゼンベルク方程式

自由粒子系と調和振動子系において,ハイゼンベルク表示の位置演算子$ \hat{x}(t) $と運動量演算子$ \hat{p}(t) $の時間発展を求める. 1次元自由粒子 1次元の自由粒子の系を考える.ハミルトニアンはハイゼンベルク表示で$ \hat{H}(t) = \frac{\hat{p} ^ 2(…

井戸型ポテンシャル問題の平行移動後の固有値問題の等価性

次の2つの井戸型ポテンシャル V(x) ,V'(x) 中の質量 m の粒子について,固有値問題が等価であることを示す. \begin{align} V ( x ) &= \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { ( x a ) } \\ { - V } & { ( 0 \frac { a } { 2 } \right) } \\ { - V } & { …

量子力学における並進演算子と運動量演算子について

位置演算子 $ \hat{x} $ と運動量演算子 $ \hat{ p } $ に対し,次の演算子 \begin{equation} \hat { G } _ { \epsilon } = \left( 1 + \frac { \hat { p } } { i \hbar } \epsilon \right) \end{equation} を定義する. ε は微小量である.位置演算子 $ \ha…

1次元調和振動子の生成消滅演算子による表示での位置演算子と運動量演算子の行列要素とエルミート多項式による表示との比較

前記事 www.k-pmpstudy.com の1次元調和振動子問題において,固有値 $ (n+\frac{1}{2})\hbar\omega $ に対する規格化された固有状態を $ |n\rangle $ と表すことにする. この $ |n\rangle $ に生成演算子 $ \hat{a} ^ \dagger $ を作用させると,固有値が1…

1次元調和振動子の生成消滅演算子による表示とハミルトニアンの固有値

1次元調和振動子のハミルトニアンは,運動量演算子 $ \hat{p} $ と座標演算子 $ \hat{x} $ を用いて \begin{equation} \hat { H } = \frac { \hat { p } ^ { 2 } } { 2 m } + \frac { m \omega ^ { 2 } \hat { x } ^ { 2 } } { 2 } \end{equation} のように…

正準変換は群をなすことのシンプレクティック表示による証明

目次 無限小正準変換はリー代数をなす ハミルトン方程式のシンプレクティック表示.正準変換の特徴付け. ポアソン括弧は正準変換で不変である 正準変換全体の集合は変換の合成を積として群をなす 無限小正準変換はリー代数をなす 相空間(q,p)上の物理量 f(q…

MathJaxで数式に色を付ける方法 (\textcolorコマンドの読み込み方)

MathJaxで数式に色を付ける場合は\textcolorコマンドを使えばよい. color.jsをインポートすることで使うことができるようになる. エクステンションのインポートの仕方は別の記事で紹介したことがあるのでそちらを参照していただきたい. www.k-pmpstudy.co…

latexで脚注の文字サイズを本文の文字サイズと同じにする方法

LaTeXで脚注の文字サイズを本文中のものと同じにするときはプリアンブルに以下を入力すればいい. \renewcommand{\footnotesize}{\normalsize} これは単純に文字サイズを指定するコマンドの\footnotesizeの設定を再定義しただけである. つまり,脚注とは関…

LaTeXで式参照のときに脚注にその数式を再表示するマクロ

LaTeXで式参照のときに脚注にその数式を再掲するマクロを調べて作った(ほぼコピぺだが).\repeatable{数式}{ラベル}で数式とラベルの登録.本文中で\repeatref{ラベル}で参照することでそのラベル付けされた数式を参照するページの脚注に再掲できる. 私が…

1次元調和振動子の位置と運動量の行列要素の計算 [PDFあり]

本記事のPDF版をBOOTHにて無料で公開しております.印刷して読みたい方など是非ご利用ください. 三浦と窮理とブログ--1 次元調和振動子の位置と運動量の行列要素の計算 - k-pmpstudy - BOOTH(同人誌通販・ダウンロード) 1次元調和振動子の波動関数はエル…

1次元調和振動子の波動関数の規格化と基底状態・第1励起状態の存在確率の計算

1次元調和振動子の波動関数はエルミート多項式を用いて $ \psi_n(\xi) = A_n H_n (\xi) e^{-\xi^2/2} $ と表せる.ここで,$ \xi =\sqrt{m\omega/\hbar} x $ ,$ A_n $ は規格化定数とする. ・規格化定数の決定 \begin{align} 1&= \int_{-\infty}^{\infty} …

U(1)ゲージ場の場の強さから作られる擬スカラー量の全微分形への変形

$ U(1) $ゲージ場の場の強さ $ F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu $ から作られる擬スカラー量 $ \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma} $ に対し, \begin{equation} \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} F_{\mu\nu}F_{\rho\s…