スピン1/2の場合について，スピン角運動量演算子$ \hat{S}_z $の固有値$ \pm \hbar /2 $の固有状態を$ |\pm\frac{1}{2} \rangle $と表すとする．すなわち次が成り立つ．
\begin{equation}
\hat{S}_z |\pm\frac{1}{2} \rangle = \pm \frac{\hbar}{2}|\pm\frac{1}{2} \rangle
\end{equation}
次に昇降演算子$ \hat{S} _ \pm = \hat{S} _ x \pm i \hat{S} _ y$を定義する．これは次を満たす．
\begin{equation}
\hat{S}_\pm |\mp \frac{1}{2} \rangle = \hbar |\pm\frac{1}{2} \rangle
~,~
\hat{S}_\pm |\pm \frac{1}{2} \rangle = 0
\end{equation}
以上より，$ \hat{S} _ x ,\hat{S} _ y$の固有値 $\pm \frac{\hbar}{2}$ の規格固有状態はそれぞれ，$ \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( | +\frac { 1 } { 2 } \rangle \pm |- \frac { 1 } { 2 } \rangle ) , \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( | +\frac { 1 } { 2 } \rangle \pm i|- \frac { 1 } { 2 } \rangle )$である．
▶途中計算
\begin{align}
\hat{S}_x \left [\frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( | +\frac { 1 } { 2 } \rangle \pm |- \frac { 1 } { 2 } \rangle ) \right ]
&= \frac{\hat{S}_+ + \hat{S}_-}{2} \left [\frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( | +\frac { 1 } { 2 } \rangle \pm |- \frac { 1 } { 2 } \rangle ) \right ]
= \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 }} (0 \pm \hbar | +\frac { 1 } { 2 } \rangle + \hbar |- \frac { 1 } { 2 } \rangle \pm 0 )
\\
&= \pm \frac{\hbar }{2} \left [\frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( | +\frac { 1 } { 2 } \rangle \pm |- \frac { 1 } { 2 } \rangle ) \right ]
\end{align}
上記の固有状態をベクトル$ | +\frac { 1 } { 2 } \rangle = (1,0) ~,~ | -\frac { 1 } { 2 } \rangle = (0,1) $で表した時，スピンベクトル演算子$ \hat{\boldsymbol{S}} $の行列表示はパウリ行列$ \boldsymbol{\sigma} $を用いて
$ \frac{\hbar }{2} \boldsymbol{\sigma} $
と表される．
▶途中計算
各演算子の行列要素を計算していく．
\begin{align}
\langle \pm \frac{1}{2} | \hat{S}_z |\pm \frac{1}{2} \rangle &= \pm \frac{\hbar}{2}
~,~
\langle \mp \frac{1}{2} | \hat{S}_z |\pm \frac{1}{2} \rangle = 0
\\
\langle + \frac{1}{2} | \hat{S}_+ |- \frac{1}{2} \rangle &= \hbar
~,~
\langle - \frac{1}{2} | \hat{S}_+ |\pm \frac{1}{2} \rangle = 0
~,~
\langle + \frac{1}{2} | \hat{S}_+ |+ \frac{1}{2} \rangle = 0
\\
\langle - \frac{1}{2} | \hat{S}_- |+ \frac{1}{2} \rangle &= \hbar
~,~
\langle + \frac{1}{2} | \hat{S}_- |\pm \frac{1}{2} \rangle = 0
~,~
\langle - \frac{1}{2} | \hat{S}_- |- \frac{1}{2} \rangle = 0
\end{align}
より，$ \hat{S}_z , \hat{S}_\pm $の行列表示はそれぞれ，
$ \frac{\hbar}{2} \left(\begin{smallmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1 \end{smallmatrix} \right) ,
\hbar \left(\begin{smallmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\right) ,
\hbar \left(\begin{smallmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right ) $
である．
よって$ \hat{S}_\pm = \hat{S}_x \pm i \hat{S}_y $より成り立つ．
