三浦と窮理とブログ

主に物理学・数学について自分が勉強してきたことについて書いていきます.誰かの役に立ってくれれば嬉しいです.

スピン1/2の角運動量演算子のパウリ行列による表示

スピン1/2の場合について,スピン角運動量演算子$ \hat{S}_z $の固有値$ \pm \hbar /2 $の固有状態を$ |\pm\frac{1}{2} \rangle $と表すとする.すなわち次が成り立つ.

\begin{equation} \hat{S}_z |\pm\frac{1}{2} \rangle = \pm \frac{\hbar}{2}|\pm\frac{1}{2} \rangle \end{equation}

次に昇降演算子$ \hat{S} _ \pm = \hat{S} _ x \pm i \hat{S} _ y$を定義する.これは次を満たす.

\begin{equation} \hat{S}_\pm |\mp \frac{1}{2} \rangle = \hbar |\pm\frac{1}{2} \rangle ~,~ \hat{S}_\pm |\pm \frac{1}{2} \rangle = 0 \end{equation}

以上より,$ \hat{S} _ x ,\hat{S} _ y$の固有値 $\pm \frac{\hbar}{2}$ の規格固有状態はそれぞれ,$ \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( | +\frac { 1 } { 2 } \rangle \pm |- \frac { 1 } { 2 } \rangle ) , \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( | +\frac { 1 } { 2 } \rangle \pm i|- \frac { 1 } { 2 } \rangle )$である. ▶途中計算

上記の固有状態をベクトル$ | +\frac { 1 } { 2 } \rangle = (1,0) ~,~ | -\frac { 1 } { 2 } \rangle = (0,1) $で表した時,スピンベクトル演算子$ \hat{\boldsymbol{S}} $の行列表示はパウリ行列$ \boldsymbol{\sigma} $を用いて $ \frac{\hbar }{2} \boldsymbol{\sigma} $ と表される. ▶途中計算