三浦と窮理とブログ

主に物理学・数学について自分が勉強してきたことについて書いていきます.誰かの役に立ってくれれば嬉しいです.

対称テンソルと反対称テンソルの縮約は0になることの証明

対称テンソルと反対称テンソルの縮約は0になることを示そう.

2階の対称テンソル Tij と2階の反対称テンソル Skl について,この2つの添え字の縮約を行う.

記法はアインシュタインの規約を用いる.

Tij Sij

= - Tji Sji

= - Tij Sij (添え字を付け直した)

よって移行して,

2 Tij Sij = 0

よって成り立つ.

これは一般に高階のテンソルについても同様に考えることができる.

すなわち,2つのテンソルの一方の対称な添え字の組ともう一方の反対称な添え字の組の縮約をとると0になる.