2次元等方調和振動子のハミルトニアンと角運動量演算子の生成消滅演算子による同時対角化

2次元等方調和振動子のハミルトニアン

\begin{equation} \hat{ H } = \frac { 1 } { 2 m } ( {\hat{ p } _ { x }} ^ { 2 } + {\hat{ p } _ { y } }^ { 2 } ) + \frac { 1 } { 2 } m \omega ^ { 2 } ( \hat{ x } ^ { 2 } + \hat{ y } ^ { 2 } ) \end{equation}

と z 方向の角運動量演算子

\begin{equation} \hat{L} = \hat { x } \hat { p } _ { y } - \hat { y } \hat { p } _ { x } \end{equation}

は x , y 方向の生成消滅演算子

\begin{equation} \hat { a } _ { x } = \sqrt { \frac { m \omega } { 2 \hbar } } \left( \hat { x } + \frac { i } { m \omega } \hat { p } _ { x } \right) , \hat { a } _ { y } = \sqrt { \frac { m \omega } { 2 \hbar } } \left( \hat { y } + \frac { i } { m \omega } \hat { p } _ { y } \right) \end{equation}

を用いて，

\begin{align} \hat{ H } &= (\hat{ a }_x^\dagger \hat{ a }_x + \hat{ a }_y^\dagger \hat{ a }_y + 1)\hbar \omega \label{eq:Haa}\\ \hat{ L } &= i\hbar(\hat{ a }_x \hat{ a }_y^\dagger - \hat{ a }_x^\dagger \hat{ a }_y)\label{eq:Laa} \end{align}

と表される．また， $ [\hat{ H },\hat{ L }]=0 $ であり， $ \hat{ H } $ と $ \hat{ L } $ は同時対角化可能である．この二つの演算子を同時対角化するために次の演算子を定義する．

\begin{equation} \hat{A} _ { \pm } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( \hat{ a } _ { x } \mp i \hat{ a } _ { y }) , \hat{A} _ { \pm } ^ { \dagger } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( \hat{ a } _ { x } ^ { \dagger } \pm i \hat{ a } _ { y } ^ { \dagger } ) \end{equation}

これらは

\begin{align} &[ \hat{A} _ { r } , \hat{A} _ { s } ] = [ \hat{A} _ { r } ^ { \dagger } , \hat{A} _ { s } ^ { \dagger } ] = 0 , \quad [ \hat{A} _ { r } , \hat{A} _ { s } ^ { \dagger } ] = \delta _ { r s } \quad (r,s=+または-)\\ &[\hat{ A }_+^\dagger \hat{ A }_+ , \hat{ A }_-^\dagger \hat{ A }_-]=0 \label{eq:AAAA} \end{align}

という交換関係を満たす．

$ \hat{ H } , \hat{ L } $ は

\begin{align} \hat{ H } &= (\hat{ A }_+^\dagger \hat{ A }_+ + \hat{ A }_-^\dagger \hat{ A }_- + 1)\hbar \omega \label{eq:HAA}\\ \hat{ L } &= \hbar(\hat{ A }_+^\dagger \hat{ A }_+ - \hat{ A }_-^\dagger \hat{ A }_-)\label{eq:LAA} \end{align}

と表される．

式\eqref{eq:AAAA}より $ \hat{ A } _ + ^ \dagger \hat{ A } _ + $ と $ \hat{ A } _ - ^ \dagger \hat{ A } _ - $ は同時対角化可能なのでこれらの同時固有状態 $ |n _ +,n _ - \rangle $ と固有値 n₊ , n_- を

\begin{align} \hat{ A }_+^\dagger \hat{ A }_+ |n_+,n_- \rangle &= n_+|n_+,n_- \rangle\\ \hat{ A }_-^\dagger \hat{ A }_- |n_+,n_- \rangle &= n_-|n_+,n_- \rangle \end{align}

と定義することができ，

\begin{align} \hat{ H }|n_+,n_- \rangle &= (n_+ + n_- + 1)\hbar \omega|n_+,n_- \rangle\\ \hat{ L }|n_+,n_- \rangle &= \hbar(n_+ - n_-)|n_+,n_- \rangle \end{align}

となる．すなわち $ |n _ +,n _ - \rangle $ は $ \hat{ H } $ と $ \hat{ L } $ の同時固有状態でもあり，対応する固有値はそれぞれ $ (n _ + + n _ - + 1)\hbar \omega,\hbar(n _ + - n _ -) $ であることが分かる．

関連事項：シュウィンガーの振動子モデル