三浦ノート

自分の経験したことを検索可能にしていくブログ.誰かの役に立ってくれれば嬉しいです.

ポアンカレ群の計算ノート

私が Pierre Ramond ”Field Theory A Modern Primer” §1.3 の ”The Poincaré Group” を読んだときにやった計算を載せていく.

文字の定義

P:平行移動の生成子・運動量

L:軌道角運動量

M:ローレンツ変換の生成子

W:パウリ- ルバンスキーベクトル

目次

ポアンカレ群

(1.3.3) ポアンカレ変換を2回する.

\begin{equation} x^\mu \to \Lambda^\mu_{1\nu} x^\nu + a^\mu_1 \to \Lambda^\mu_{2\rho} (\Lambda^\rho_{1\nu} x^\nu + a^\rho_1) + a^\mu_2 = \Lambda^\mu_{2\rho} \Lambda^\rho_{1\nu} x^\nu + \Lambda^\mu_{2\rho} a^\rho_1 + a^\mu_2 \end{equation}

ポアンカレ変換は群をなす

2,a2)(Λ1,a1) = (Λ2Λ1, Λ2a1 + a2 )

結合則

3,a3)[(Λ2,a2)(Λ1,a1)] = (Λ3,a3)(Λ2Λ1, Λ2a1 +a2 ) = (Λ3Λ2Λ1, Λ3Λ2a1 + Λ3a2 + a3)
[(Λ3,a3)(Λ2,a2)](Λ1,a1) = (Λ3Λ2, Λ3a2 + a3 )(Λ1,a1) = (Λ3Λ2Λ1, Λ3Λ2a1 + Λ3a2 + a3)

単位元

eP = (e,0)
(eはローレンツ変換の単位元)

逆元

(Λ,a)-1 = (Λ-1 , - Λ-1a)
-1はローレンツ変換の逆元)

▶クリックで逆元であることの証明を開く

生成子の性質

(1.3.4)平行移動の無限小変換の生成子

\begin{equation}\delta x^\mu = i \varepsilon^\rho P_\rho x^\mu = \varepsilon^\mu\end{equation}

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(1.3.8) P とローレンツ変換の生成子 M の交換関係

\begin{equation} [M_{\mu\nu},P_\rho] = -ig_{\mu \rho}P_\nu +ig_{\nu \rho}P_\mu \end{equation}

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P2はカシミール演算子である.

\begin{equation} [P^\mu P_\mu , M_{\nu \lambda}]=0\end{equation}

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パウリ- ルバンスキー ベクトル演算子

定義

W = ★(P ∧ M)

∧ 外積

★ ホッジ双対

座標基底を選んで,

\begin{align} P &= P_\nu dx^\nu ~,~ M = \frac{1}{2}M_{\rho\sigma}dx^\rho \wedge dx^\sigma \\ P \wedge M &= \frac{1}{2}P_\nu M_{\rho\sigma} dx^\nu \wedge dx^\rho \wedge dx^\sigma \\ \star (P \wedge M) &= \frac{1}{2}P_\nu M_{\rho\sigma} \underbrace{\star (dx^\nu \wedge dx^\rho \wedge dx^\sigma)}_{={\varepsilon_\mu}^{\nu\rho\sigma} dx^\mu}= \underbrace{\frac{1}{2}P_\nu M_{\rho\sigma} {\varepsilon_\mu}^{\nu\rho\sigma}}_{=: W_\mu} dx^\mu \end{align}

パウリ- ルバンスキーベクトルはエルミート演算子である.

\begin{equation} (W^\mu)^\dagger = \frac{1}{2}\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\!\!\!\!\!\!\underbrace{{M_{\rho\sigma}^\dagger}{P_\nu}^\dagger }_{\substack{=M_{\rho\sigma}P_\nu \\ = P_\nu M_{\rho\sigma} + [M_{\rho\sigma},P_\nu]}} = W^\mu + \frac{1}{2}\underbrace{\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} (-ig_{\rho \nu}P_\sigma +ig_{\sigma \nu}P_\rho) }_{=0} = W^\mu \end{equation}

反対称な添え字と対称な添え字の縮約が0になる

(1.3.10) パウリ- ルバンスキーベクトル と運動量は可換である.

[Wμ, Pρ]=0

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パウリ- ルバンスキーベクトルと運動量の内積は0

\begin{equation} P_\mu W^\mu = 0 \label{PW=0} \end{equation}

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(1.3.11) パウリ- ルバンスキーベクトルと M の交換関係

\begin{equation} [M_{\mu\nu},W_\rho] = -ig_{\mu \rho}W_\nu +ig_{\nu \rho}W_\mu \end{equation}

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パウリ- ルバンスキーベクトルの大きさW2はカシミール演算子である.

\begin{equation} [W^\mu W_\mu,P^\rho] = 0 ~,~ [W^\mu W_\mu,M_{\nu\lambda}] = 0 \end{equation}

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(1.3.12) パウリ- ルバンスキーベクトルは軌道角運動量 L に依らない.

\begin{equation} W^\mu = - \frac{i}{2} \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}S_{\rho\sigma}\partial_\nu \end{equation}

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パウリ- ルバンスキーベクトルの時間成分と空間成分

\begin{equation} W^0 = P_i J^i ~,~ W^i = -P_0 J^i + \frac{1}{2} \varepsilon^{ij\rho\sigma} P_j M_{\rho\sigma} \quad (i,j,k=1,2,3) \end{equation}

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空間の角運動量 Ji と 4元運動量の時間成分P0 は可換である.

\begin{equation} [J^i,P_0] = \frac{1}{2} \varepsilon^{0ijk}\underbrace{[M_{jk},P_0]}_{=-ig_{j0}P_k +ig_{k0}P_j} =0 \end{equation}

パウリ- ルバンスキーベクトルの大きさ W2 の固有値は - m2 s(s+1) である.

WμWμ はLorentz不変量である.簡単のために静止座標系で考える. Pμ = (P0,0,0,0) より,(P0)2 の固有値 = m2 , Wμ = (0,- P0Ji).よって,WμWμ = P0Ji P0Ji = - P02JiJi

PμPμ = 0 , WμWμ = 0 , PμWμ = 0 ⇒ 運動量ベクトルと パウリ- ルバンスキー ベクトルは平行である.

運動方向に x 軸を置いて考える.i.e. Pμ = (P0,P1,0,0) .

PμPμ = 0 より(P0)2 = (P1)2 なので,Pμ = (P0, ± P0,0,0) .

PμWμ = 0 より,W1 = ± W0 . (∵ 0 = PμWμ = P0W0 - P1W1 = P0W0 ∓ P0W1)

WμWμ = 0 より,W2 = W3 = 0 .(∵ $(W^0)^2=\underbrace{(W^1)^2}_{=(W^0)^2}+(W^2)^2+(W^3)^2$.(正の数の和)=0 ⇔すべての項=0 )

以上より, Pμ = (P0, ± P0,0,0) , Wμ=(W0, ± W0,0,0) なので P と W は比例する.

これは端的には,二つのヌルベクトルは内積が 0 ならば平行であるということである.

参考文献

Field Theory: A Modern Primer

Field Theory: A Modern Primer

  • 作者: Pierre Ramond
  • 出版社/メーカー: Benjamin-Cummings Publishing Co.,Subs. of Addison Wesley Longman,US
  • 発売日: 1981/12
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