ポアンカレ群の計算ノート

私が Pierre Ramond ”Field Theory A Modern Primer” §1.3 の ”The Poincaré Group” を読んだときにやった計算を載せていく．

文字の定義

P：平行移動の生成子・運動量

L：軌道角運動量

M：ローレンツ変換の生成子

W：パウリ- ルバンスキーベクトル

目次

ポアンカレ群

(1.3.3) ポアンカレ変換を2回する．

\begin{equation} x^\mu \to \Lambda^\mu_{1\nu} x^\nu + a^\mu_1 \to \Lambda^\mu_{2\rho} (\Lambda^\rho_{1\nu} x^\nu + a^\rho_1) + a^\mu_2 = \Lambda^\mu_{2\rho} \Lambda^\rho_{1\nu} x^\nu + \Lambda^\mu_{2\rho} a^\rho_1 + a^\mu_2 \end{equation}

ポアンカレ変換は群をなす

積

(Λ₂,a₂)(Λ₁,a₁) = (Λ₂Λ₁, Λ₂a₁ + a₂ )

結合則

(Λ₃,a₃)[(Λ₂,a₂)(Λ₁,a₁)] = (Λ₃,a₃)(Λ₂Λ₁, Λ₂a₁ +a₂ ) = (Λ₃Λ₂Λ₁, Λ₃Λ₂a₁ + Λ₃a₂ + a₃)
[(Λ₃,a₃)(Λ₂,a₂)](Λ₁,a₁) = (Λ₃Λ₂, Λ₃a₂ + a₃ )(Λ₁,a₁) = (Λ₃Λ₂Λ₁, Λ₃Λ₂a₁ + Λ₃a₂ + a₃)

単位元

e_P = (e,0)
(eはローレンツ変換の単位元)

逆元

(Λ,a)^-1 = (Λ^-1 , - Λ^-1a)
(Λ^-1はローレンツ変換の逆元)

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(Λ,a)^-1(Λ,a) = (Λ^-1 , - Λ^-1a)(Λ,a) = (Λ^-1Λ,Λ^-1a - Λ^-1a) = (e,0) =e_P
(Λ,a)(Λ,a)^-1 = (Λ,a) (Λ^-1 , - Λ^-1a) = (ΛΛ^-1,-ΛΛ^-1a + a) = (e,0) =e_P

生成子の性質

(1.3.4)平行移動の無限小変換の生成子

\begin{equation}\delta x^\mu = i \varepsilon^\rho P_\rho x^\mu = \varepsilon^\mu\end{equation}

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\begin{equation} i \varepsilon^\rho P_\rho x^\mu =\varepsilon^\rho \underbrace{\partial_\rho x^\mu}_{=\delta^\mu_\rho}= \varepsilon^\mu \end{equation}

(1.3.8) P とローレンツ変換の生成子 M の交換関係

\begin{equation} [M_{\mu\nu},P_\rho] = -ig_{\mu \rho}P_\nu +ig_{\nu \rho}P_\mu \end{equation}

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\begin{align} [M_{\mu\nu},P_\rho] &= [i(x_\mu \partial_\nu - x_\nu \partial_\mu) + S_{\mu\nu},-i\partial_\rho] = [i(x_\mu \partial_\nu - x_\nu \partial_\mu),-i\partial_\rho] +\underbrace{[ S_{\mu\nu},-i\partial_\rho]}_{=0} \\ &= i(x_\mu \partial_\nu - x_\nu \partial_\mu)(-i\partial_\rho) - (-i\partial_\rho) i(x_\mu \partial_\nu - x_\nu \partial_\mu) \\ &= \cancel{x_\mu \partial_\nu \partial_\rho} - \cancel{x_\nu \partial_\mu \partial_\rho} -\underbrace{(\partial_\rho x_\mu)}_{=g_{\rho \mu}}\partial_\nu - \cancel{x_\mu \partial_\rho \partial_\nu} + \underbrace{(\partial_\rho x_\nu)}_{=g_{\rho \nu}}\partial_\mu + \cancel{x_\nu \partial_\rho \partial_\mu} \\ &= -ig_{\mu \rho}P_\nu +ig_{\nu \rho}P_\mu \end{align}

P²はカシミール演算子である．

\begin{equation} [P^\mu P_\mu , M_{\nu \lambda}]=0\end{equation}

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\begin{align} [P^\mu P_\mu , M_{\nu \lambda}]&= P^\mu [ P_\mu , M_{\nu \lambda}] +[P^\mu , M_{\nu \lambda}]P_\mu \\ &= - P^\mu(-ig_{\nu \mu}P_\lambda +ig_{\lambda \mu}P_\nu) - (-ig_\nu^\mu P_\lambda +ig_\lambda^\mu P_\nu)P_\mu \\ &= iP_\nu P_\lambda - iP_\lambda P_\nu + iP_\lambda P_\nu - iP_\nu P_\lambda =0 \end{align}

パウリ- ルバンスキー ベクトル演算子

定義

W = ★(P ∧ M)

∧ 外積

★ ホッジ双対

座標基底を選んで，

\begin{align} P &= P_\nu dx^\nu ~,~ M = \frac{1}{2}M_{\rho\sigma}dx^\rho \wedge dx^\sigma \\ P \wedge M &= \frac{1}{2}P_\nu M_{\rho\sigma} dx^\nu \wedge dx^\rho \wedge dx^\sigma \\ \star (P \wedge M) &= \frac{1}{2}P_\nu M_{\rho\sigma} \underbrace{\star (dx^\nu \wedge dx^\rho \wedge dx^\sigma)}_{={\varepsilon_\mu}^{\nu\rho\sigma} dx^\mu}= \underbrace{\frac{1}{2}P_\nu M_{\rho\sigma} {\varepsilon_\mu}^{\nu\rho\sigma}}_{=: W_\mu} dx^\mu \end{align}

パウリ- ルバンスキーベクトルはエルミート演算子である．

\begin{equation} (W^\mu)^\dagger = \frac{1}{2}\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\!\!\!\!\!\!\underbrace{{M_{\rho\sigma}^\dagger}{P_\nu}^\dagger }_{\substack{=M_{\rho\sigma}P_\nu \\ = P_\nu M_{\rho\sigma} + [M_{\rho\sigma},P_\nu]}} = W^\mu + \frac{1}{2}\underbrace{\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} (-ig_{\rho \nu}P_\sigma +ig_{\sigma \nu}P_\rho) }_{=0} = W^\mu \end{equation}

反対称な添え字と対称な添え字の縮約が０になる

(1.3.10) パウリ- ルバンスキーベクトル と運動量は可換である．

[W^μ, P^ρ]=0

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\begin{align} [W^\mu, P^\rho]&= [\frac{1}{2}\varepsilon^{\mu\nu\lambda\sigma}P_\nu M_{\lambda\sigma},P^\rho] = \frac{1}{2}\varepsilon^{\mu\nu\lambda\sigma} (P_\nu\underbrace{[M_{\lambda\sigma},P^\rho]}_{=-ig_\lambda^\rho P_\sigma +ig_\sigma^\rho P_\lambda}+ \underbrace{[P_\nu ,P^\rho]}_{=0} M_{\lambda\sigma}) \\ &= \frac{i}{2}(-\underbrace{\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}P_\nu P_\sigma}_{=0} + \underbrace{\varepsilon^{\mu\nu\lambda\rho}P_\nu P_\lambda}_{=0}) =0 \end{align}

パウリ- ルバンスキーベクトルと運動量の内積は0

\begin{equation} P_\mu W^\mu = 0 \label{PW=0} \end{equation}

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\begin{equation} P_\mu W^\mu =\frac{1}{2}\underbrace{\varepsilon^{\mu\nu\lambda\sigma}P_\mu P_\nu}_{=0} M_{\lambda\sigma} = 0 \end{equation}

(1.3.11) パウリ- ルバンスキーベクトルと M の交換関係

\begin{equation} [M_{\mu\nu},W_\rho] = -ig_{\mu \rho}W_\nu +ig_{\nu \rho}W_\mu \end{equation}

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式$\eqref{PW=0} $ より

\begin{align} &0 = [M_{\mu\nu},P^\rho W_\rho] = P^\rho [ M_{\mu \nu} , W_\rho] +[M_{\mu \nu} ,P^\rho ]W_\rho \\ \Leftrightarrow \quad & P^\rho [ M_{\mu \nu} , W_\rho] =- [M_{\mu \nu} ,P^\rho ]W_\rho = -(-ig_\mu^\rho P_\nu +ig_\nu^\rho P_\mu)W_\rho = i\underbrace{P_\nu}_{=g_{\nu \rho}P^\rho} W_\mu -i\underbrace{P_\mu}_{=g_{\mu \rho}P^\rho} W_\nu\\ &\qquad= P^\rho (-ig_{\mu \rho}W_\nu +ig_{\nu \rho}W_\mu)\\ \Leftrightarrow \quad & [M_{\mu\nu},W_\rho] = -ig_{\mu \rho}W_\nu +ig_{\nu \rho}W_\mu \end{align}

パウリ- ルバンスキーベクトルの大きさW²はカシミール演算子である．

\begin{equation} [W^\mu W_\mu,P^\rho] = 0 ~,~ [W^\mu W_\mu,M_{\nu\lambda}] = 0 \end{equation}

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\begin{align} [W^\mu W_\mu,M_{\nu\lambda}] &= W^\mu [ W_\mu,M_{\nu\lambda}] + [W^\mu,M_{\nu\lambda}] W_\mu = - W^\mu (-ig_{\nu \mu}W_\lambda +ig_{\lambda \mu}W_\nu) - (-ig_\nu^\mu W_\lambda +ig_\lambda^\mu W_nu) W_\mu \\ &= iW_\nu W_\lambda -i W_\lambda W_\nu +i W_\lambda W_\nu -i W_\nu W_\lambda =0 \end{align}

(1.3.12) パウリ- ルバンスキーベクトルは軌道角運動量 L に依らない．

\begin{equation} W^\mu = - \frac{i}{2} \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}S_{\rho\sigma}\partial_\nu \end{equation}

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\begin{align} W^\mu &= \frac{1}{2}\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}P_\nu M_{\rho\sigma} = \frac{1}{2}\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} (-i\partial_\nu)(ix_\rho \partial_\sigma - i x_\sigma \partial_\rho + S_{\rho\sigma}) \\ &= - \frac{i}{2} \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} (i\cancel{g_{\nu\rho}\partial_\sigma} + i \cancel{x_\rho \partial_\nu \partial_\sigma} -\cancel{ig_{\nu\sigma}\partial_\rho} - \cancel{i x_\sigma \partial_\nu \partial_\rho} + \underbrace{\partial_\nu S_{\rho\sigma}}_{ S_{\rho\sigma}\partial_\nu}) \\ &= - \frac{i}{2} \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}S_{\rho\sigma}\partial_\nu \end{align}

パウリ- ルバンスキーベクトルの時間成分と空間成分

\begin{equation} W^0 = P_i J^i ~,~ W^i = -P_0 J^i + \frac{1}{2} \varepsilon^{ij\rho\sigma} P_j M_{\rho\sigma} \quad (i,j,k=1,2,3) \end{equation}

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\begin{align} W^0 &= \frac{1}{2} \varepsilon^{0\nu\rho\sigma} P_\nu M_{\rho\sigma} = \frac{1}{2} \varepsilon^{0ijk} P_i M_{jk} = P_i J^j \\ W^i &= \frac{1}{2} \varepsilon^{i\nu\rho\sigma} P_\nu M_{\rho\sigma} = \frac{1}{2} \underbrace{\varepsilon^{i0\rho\sigma} P_0 M_{\rho\sigma} }_{=\underbrace{\varepsilon^{i0jk}}_{=-\varepsilon^{0ijk}} P_0 M_{jk} }+ \frac{1}{2} \varepsilon^{ij\rho\sigma} P_j M_{\rho\sigma} = -P_0 J^i + \frac{1}{2} \varepsilon^{ij\rho\sigma} P_j M_{\rho\sigma} \end{align}

空間の角運動量 Jⁱ と 4元運動量の時間成分P₀ は可換である．

\begin{equation} [J^i,P_0] = \frac{1}{2} \varepsilon^{0ijk}\underbrace{[M_{jk},P_0]}_{=-ig_{j0}P_k +ig_{k0}P_j} =0 \end{equation}

パウリ- ルバンスキーベクトルの大きさ W² の固有値は - m² s(s+1) である．

W^μW_μ はLorentz不変量である．簡単のために静止座標系で考える． P^μ = (P⁰,0,0,0) より，(P⁰)² の固有値 = m² , W^μ = (0,- P₀Jⁱ)．よって，W^μW_μ = P₀Jⁱ P₀J_i = - P₀²J_iJ_i

P^μP_μ = 0 , W^μW_μ = 0 , P^μW_μ = 0 ⇒ 運動量ベクトルと パウリ- ルバンスキー ベクトルは平行である．

運動方向に x 軸を置いて考える．i.e. P^μ = (P⁰,P¹,0,0) ．

P^μP_μ = 0 より(P⁰)² = (P¹)² なので，P^μ = (P⁰, ± P⁰,0,0) ．

P^μW_μ = 0 より，W₁ = ± W₀ ． (∵ 0 = P^μW_μ = P₀W₀ - P₁W₁ = P₀W₀ ∓ P₀W₁)

W^μW_μ = 0 より，W² = W³ = 0 ．(∵ $(W^0)^2=\underbrace{(W^1)^2}_{=(W^0)^2}+(W^2)^2+(W^3)^2$．(正の数の和)=0 ⇔すべての項=0 )

以上より， P^μ = (P⁰, ± P⁰,0,0) , W^μ=(W⁰, ± W⁰,0,0) なので P と W は比例する．

これは端的には，二つのヌルベクトルは内積が 0 ならば平行であるということである．

参考文献

Field Theory: A Modern Primer