maxima で正方行列 X = (Xij) の(i,j)小行列式を全て書き出す関数が以下である． minors(X):=for i:1 while i<=matrix_size(X)[1] do (for j:1 while j<=matrix_size(X)[1] do print(i,j,"=",determinant(minor(X,i,j)))) 単純にminor関数を繰り返して計算し…

mathtools パッケージに psmallmatrix環境が用意されていて，括弧つきの小さい行列を表示できる． 例 ・普通のpmatrixの場合 \begin{equation} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 1 & -3 & 3 \\ 1 & 3 & -3 \end{pmatrix} \end{equation} ・psmallmatrixの場合（…

LaTeX で mathtools パッケージの \mathclap コマンドを使うことで，\underbrace で数式の下に長い説明を入れても数式の方に空白が出ないようにできる． 例 MathJaxではmathtoolsに対応してなくて中央寄せができないそうなので，以下に示す例は右寄せになっ…

九後汰一郎 『ゲージ場の量子論 I』p15 から以下の計算をまとめる． 作用積分 $ S[\varphi(x)] $ が場 $ \varphi(x) $ の無限小変換 \begin{equation} \varphi(x)_i \to \varphi'_i(x) = \varphi_i(x) + \epsilon G_i(\varphi(x)) \end{equation} について不…

私が Pierre Ramond ”Field Theory A Modern Primer” §1.3 の ”The Poincaré Group” を読んだときにやった計算を載せていく． 文字の定義 P：平行移動の生成子・運動量 L：軌道角運動量 M：ローレンツ変換の生成子 W：パウリ- ルバンスキーベクトル 目次 文…

エルミート多項式 Hn(ξ) (n ≥ 0) は，以下の式を満たす． \begin{align} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_n(\xi)}{n!} t^n &= e^{-t^2 + 2\xi t} =: S(\xi,t) \label{eq:bo}\\ H'_n(\xi) &= 2nH_{n-1} (\xi) \label{eq:'}\\ H_{n+1}(\xi) &= 2\xi H_n(\xi) -2nH…

量子力学演習シリーズ ある固定した中心に向かって，その中心からの粒子の変位に比例した力を粒子が受ける場合を考える．その時のポテンシャルは V(x) = mω2 x2 /2 で表され，このようなポテンシャルに従う系を調和振動子系という．（ω は角振動数） この系…

量子力学の演習問題シリーズ 次の1次元ポテンシャル中の粒子を考える． \begin{equation} V(x) = \begin{cases} -V_0 / 2a & |x| a \end{cases} \end{equation} ただし粒子のエネルギー固有値 E を， - V0 / 2a < E < 0 ， V0 > 0 ， a > 0 とする．ポテンシ…

半径が a の2次元球面 S2 の計量は ds2 = a2( dθ2 + sin2θ d$\phi$2 ) a：定数，0 ≤ θ ≤ π ，0 ≤ $\phi$ である． この空間のKillingベクトル場は \begin{align} K_1 &= \frac{\partial}{\partial \phi} \label{eq:K1} \\ K_2 &= \cos \phi \frac{\partial}{…

時空の大域的な構造を図示するために，無限に広がる曲がった時空を共形的に変形して平面の有限領域に写して考える方法がある．それをペンローズ図（または共形図）とよぶ． ここではミンコフスキー時空のペンローズ図を描こう．因果関係を見るために時間座標…