三浦と窮理とブログ

主に自然科学について自分が勉強してきたことについて書いていきます.困っている誰かの役に立ちたいですし,そのためにもっと成長したいです.

ネーターカレントから得られる保存電荷と場のポアソン括弧と交換関係

九後汰一郎 『ゲージ場の量子論 I』p15 から以下の計算をまとめる.

作用積分 $ S[\varphi(x)] $ が場 $ \varphi(x) $ の無限小変換

\begin{equation} \varphi(x)_i \to \varphi'_i(x) = \varphi_i(x) + \epsilon G_i(\varphi(x)) \end{equation}

について不変であるとする.

このとき,ネーターカレント $ j^\mu(x) $ から得られる保存電荷 $ Q=\int d^3x j^0(x) $ が,もとの無限小変換の生成子になることを $ G_i $ が $ \dot{\varphi} $ によらない場合について示そう.すなわち以下の同時刻のポアソン括弧と交換関係をそれぞれ示す.

\begin{align} &古典論 \qquad\{\varphi_i(x),Q\}_P = G_i(\varphi(x)) \\ &量子論 \qquad [iQ,\varphi_i(x)] =G_i(\varphi_i(x)) \end{align}

途中計算

場 $ \varphi_i(x) $ の正準運動量を $ \pi_i(x) := \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_0 \varphi_i(x))} $ と表す.

\begin{align} \{\varphi_i(x),Q\}_P &= \left \{\varphi_i(x),\int d^3y j^0 (y)\right \}_P \\ &= \Biggl \{\varphi_i(x),\int d^3y \Bigl (\underbrace{\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_0\varphi_j (y))}}_{=\pi_j(y)}G_j(\varphi(y)) - X^0(\varphi(y)) \Bigr )\Biggr \}_P \\ &= \int d^3z \sum_k \Biggl \{\underbrace{\frac{\delta\varphi_i(x)}{\delta\varphi_k(z)}}_{=\delta_{ik}\delta^3(x-z)}\frac{\delta}{\delta\pi_k(z)}\int d^3y \Bigl (\pi_j(y)G_j(\varphi(y)) - X^0(\varphi(y))\Bigr ) \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad - \underbrace{\frac{\delta\varphi_i(x)}{\delta\pi_k(z)}}_{=0}\frac{\delta}{\delta\varphi_k(z)}\int d^3y \Bigl (\pi_j(y)G_j(\varphi(y)) - X^0(\varphi(y)\Bigr ) \Biggr \} \\ &= \int d^3z \sum_k \Biggl \{\delta_{ik}\delta^3(x-z)\underbrace{\int d^3y \Bigl ( \underbrace{\underbrace{\frac{\delta\pi_j(y)}{\delta\pi_k(z)}}_{=\delta_{jk}\delta^3(y-z)} G_j(\varphi(y))}_{\substack{jについて和をとる\\=\delta^3(y-z)G_k(\varphi(y))}} - \underbrace{\frac{\delta X^0(\varphi(y))}{\delta\pi_k(z)}}_{=0}\Bigr )}_{=G_k(\varphi(z))} \Biggr\} \\ &=G_i(x) \\ [iQ,\varphi_i(x)] &= [i\int d^3y j^0(y),\varphi_i(x)] = i\int d^3y [j^0(y),\varphi_i(x)] \\ &= i\int d^3y [\pi_j(y)G_j(\varphi(y))-X^0(\varphi(y)),\varphi_i(x)] \\ &= i\int d^3y \{\underbrace{[\pi_j(y)G_j(\varphi(y)),\varphi_i(x)]}_{=\underbrace{\underbrace{[\pi_j(y),\varphi_i(x)]}_{=-i\delta_{ij}\delta^3(x-y)}G_j(\varphi(y))}_{=-i\delta^3(x-y)G_i(\varphi(y))}}-\underbrace{[X^0(\varphi(y)),\varphi_i(x)]}_{=0} \} =G_i(\varphi(x)) \end{align}

参考文献

ゲージ場の量子論〈1〉 (新物理学シリーズ)

ゲージ場の量子論〈1〉 (新物理学シリーズ)

場の解析力学でのポアソン括弧については以下の本が詳しい.

量子場を学ぶための場の解析力学入門 増補第2版 (KS物理専門書)

量子場を学ぶための場の解析力学入門 増補第2版 (KS物理専門書)

Hamiltonian field theory - Wikipedia