九後汰一郎 『ゲージ場の量子論 I』p15 から以下の計算をまとめる.
作用積分 $ S[\varphi(x)] $ が場 $ \varphi(x) $ の無限小変換
\begin{equation}
\varphi(x)_i \to \varphi'_i(x) = \varphi_i(x) + \epsilon G_i(\varphi(x))
\end{equation}
について不変であるとする.
このとき,ネーターカレント $ j^\mu(x) $ から得られる保存電荷 $ Q=\int d^3x j^0(x) $ が,もとの無限小変換の生成子になることを $ G_i $ が $ \dot{\varphi} $ によらない場合について示そう.すなわち以下の同時刻のポアソン括弧と交換関係をそれぞれ示す.
\begin{align}
&古典論 \qquad\{\varphi_i(x),Q\}_P = G_i(\varphi(x)) \\
&量子論 \qquad [iQ,\varphi_i(x)] =G_i(\varphi_i(x))
\end{align}
途中計算
場 $ \varphi_i(x) $ の正準運動量を $ \pi_i(x) := \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_0 \varphi_i(x))} $ と表す.
\begin{align}
\{\varphi_i(x),Q\}_P &= \left \{\varphi_i(x),\int d^3y j^0 (y)\right \}_P \\
&= \Biggl \{\varphi_i(x),\int d^3y \Bigl (\underbrace{\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_0\varphi_j (y))}}_{=\pi_j(y)}G_j(\varphi(y)) - X^0(\varphi(y)) \Bigr )\Biggr \}_P \\
&= \int d^3z \sum_k \Biggl \{\underbrace{\frac{\delta\varphi_i(x)}{\delta\varphi_k(z)}}_{=\delta_{ik}\delta^3(x-z)}\frac{\delta}{\delta\pi_k(z)}\int d^3y \Bigl (\pi_j(y)G_j(\varphi(y)) - X^0(\varphi(y))\Bigr ) \\
&\qquad\qquad\qquad\qquad - \underbrace{\frac{\delta\varphi_i(x)}{\delta\pi_k(z)}}_{=0}\frac{\delta}{\delta\varphi_k(z)}\int d^3y \Bigl (\pi_j(y)G_j(\varphi(y)) - X^0(\varphi(y)\Bigr ) \Biggr \} \\
&= \int d^3z \sum_k \Biggl \{\delta_{ik}\delta^3(x-z)\underbrace{\int d^3y \Bigl ( \underbrace{\underbrace{\frac{\delta\pi_j(y)}{\delta\pi_k(z)}}_{=\delta_{jk}\delta^3(y-z)} G_j(\varphi(y))}_{\substack{jについて和をとる\\=\delta^3(y-z)G_k(\varphi(y))}} - \underbrace{\frac{\delta X^0(\varphi(y))}{\delta\pi_k(z)}}_{=0}\Bigr )}_{=G_k(\varphi(z))} \Biggr\} \\
&=G_i(x) \\
[iQ,\varphi_i(x)]
&= [i\int d^3y j^0(y),\varphi_i(x)]
= i\int d^3y [j^0(y),\varphi_i(x)] \\
&= i\int d^3y [\pi_j(y)G_j(\varphi(y))-X^0(\varphi(y)),\varphi_i(x)] \\
&= i\int d^3y \{\underbrace{[\pi_j(y)G_j(\varphi(y)),\varphi_i(x)]}_{=\underbrace{\underbrace{[\pi_j(y),\varphi_i(x)]}_{=-i\delta_{ij}\delta^3(x-y)}G_j(\varphi(y))}_{=-i\delta^3(x-y)G_i(\varphi(y))}}-\underbrace{[X^0(\varphi(y)),\varphi_i(x)]}_{=0} \} =G_i(\varphi(x))
\end{align}
参考文献
- 作者: 九後汰一郎
- 出版社/メーカー: 培風館
- 発売日: 1989/07/01
- メディア: 単行本
- クリック: 8回
- この商品を含むブログ (20件) を見る
場の解析力学でのポアソン括弧については以下の本が詳しい.
量子場を学ぶための場の解析力学入門 増補第2版 (KS物理専門書)
- 作者: 高橋康,柏太郎
- 出版社/メーカー: 講談社
- 発売日: 2005/01/26
- メディア: 単行本(ソフトカバー)
- 購入: 1人 クリック: 5回
- この商品を含むブログ (5件) を見る