三浦と窮理とブログ

主に物理学・数学について自分が勉強してきたことについて書いていきます.誰かの役に立ってくれれば嬉しいです.

エルミート多項式の母関数と漸化式の導出

エルミート多項式 Hn(ξ) (n ≥ 0) は,以下の式を満たす.

\begin{align} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_n(\xi)}{n!} t^n &= e^{-t^2 + 2\xi t} =: S(\xi,t) \label{eq:bo}\\ H'_n(\xi) &= 2nH_{n-1} (\xi) \label{eq:'}\\ H_{n+1}(\xi) &= 2\xi H_n(\xi) -2nH_{n-1} (\xi) \label{eq:n+1}\\ \frac{d^2 H_n}{d\xi^2} -2\xi &\frac{dH_n}{d\xi} + 2nH_n = 0 \label{eq:def} \end{align}

以上の関係を示していこう.

\eqref{eq:bo} の導出

S(ξ ,t) = e-t2 + 2ξ t をテイラー展開し,t の次数ごとに項をまとめると,

\begin{align} S(\xi,t) &= e^{-t^2 + 2\xi t} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} (-t^2 + 2\xi t)^n = 1+ (-t^2 + 2\xi t) + \frac{1}{2} (-t^2 + 2\xi t)^2 + \cdots \\ &= 1 + 2\xi t -t^2 + \frac{1}{2} (t^4 -4\xi t^3 + 4\xi^2 t^2) + \cdots \\ &= 1 + 2\xi t + \frac{1}{2} (4\xi^2 -2) t^2 + \cdots \\ &= H_0(\xi) + H_1(\xi)t + \frac{1}{2} H_2(\xi) t^2 + \cdots \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_n(\xi)}{n!} t^n \end{align}

この S(ξ ,t) = e-t2 + 2ξ t をエルミート多項式の母関数という.

\eqref{eq:'} の導出

式\eqref{eq:bo} の両辺 を ξで偏微分すると,

\begin{align} \frac{\partial }{\partial \xi} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_n(\xi)}{n!} t^n &= \frac{\partial }{\partial \xi}e^{-t^2 + 2\xi t} \\ \Leftrightarrow\qquad \sum_{n=0}^{\infty} \frac{H'_n(\xi)}{n!} t^n &= 2te^{-t^2 + 2\xi t} = 2t\sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_n(\xi)}{n!} t^n = \sum_{n=0}^{\infty} 2\frac{H_n(\xi)}{n!} t^{n+1} \frac{n+1}{n+1}\\ &= \sum_{n=0}^{\infty} 2(n+1)\frac{H_n(\xi)}{(n+1)!} t^{n+1} \end{align}

ここで m:= n+1 とすると,

\begin{align} \sum_{n=0}^{\infty} 2(n+1)\frac{H_n(\xi)}{(n+1)!} t^{n+1} &= \sum_{m=1}^{\infty} 2m\frac{H_{m-1}(\xi)}{m!} t^m = \underbrace{0}_{=\left. 2m\frac{H_{m-1}(\xi)}{m!} t^m \right|_{m=0}} + \sum_{m=1}^{\infty} 2m\frac{H_{m-1}(\xi)}{m!} t^m \\ &= \sum_{m=0}^{\infty} 2m\frac{H_{m-1}(\xi)}{m!} t^m \end{align}

この m を n に書き直せば,

\begin{equation} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{H'_n(\xi)}{n!} t^n = \sum_{n=0}^{\infty} 2n\frac{H_{n-1}(\xi)}{n!} t^n \end{equation}

となり H'n(ξ) = 2nHn-1(ξ) が言える.

\eqref{eq:n+1} の導出

式\eqref{eq:bo} の両辺 を t で偏微分すると,

\begin{equation} \frac{\partial }{\partial t} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_n(\xi)}{n!} t^n = \frac{\partial }{\partial t}e^{-t^2 + 2\xi t} \end{equation}
\begin{align} (左辺) &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_n(\xi)}{n!} n t^{n-1} =\underbrace{\frac{H_0(\xi)}{0!} 0 t^{0-1}}_{=0}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{H_n(\xi)}{n!} n t^{n-1} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{H_n(\xi)}{(n-1)!}t^{n-1} \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_{n+1}(\xi)}{n!} t^n \\ (右辺) &= (2\xi-2t)S(\xi,t) = (2\xi-2t)\sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_n(\xi)}{n!} t^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2\xi H_n(\xi)}{n!} t^n - \sum_{n=0}^{\infty}\underbrace{ \frac{2H_n(\xi)}{n!}}_{=\frac{2(n+1)H_n(\xi)}{(n+1)!}} t^{n+1} \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2\xi H_n(\xi)}{n!} t^n - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2nH_{n-1}(\xi)}{n!}t^{n} =\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2\xi H_n(\xi)-2nH_{n-1}(\xi)}{n!} t^n \end{align}

よって Hn+1(ξ) = 2ξ Hn(ξ) -2nHn-1(ξ) が成り立つ.

\eqref{eq:def} の導出

式\eqref{eq:n+1}を ξで微分すると,

\begin{align} &\underbrace{H'_{n+1}(\xi)}_{=2(n+1)H_n(\xi)} = 2H_n(\xi)+2\xi H'_n(\xi) - \underbrace{2nH'_{n-1}(\xi)}_{=H''_n} \\ \Leftrightarrow\quad &H''_n(\xi)-2\xi H'_n(\xi) + 2n H_n =0 \end{align}