三浦と窮理とブログ

主に自然科学について自分が勉強してきたことについて書いていきます.困っている誰かの役に立ちたいですし,そのためにもっと成長したいです.

ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式の証明

量子力学でよく用いられるベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式(Baker–Campbell–Hausdorff formula)を示そう.

命題

演算子 $\hat{A},\hat{B}$ に対して次の2つが成り立つ.

(a) 実数 $t$ に対して $\hat{B}(t) \equiv \exp(t\hat{A})\hat{B}\exp(-t\hat{A})$ としたとき,以下の式が成り立つ. \begin{align} \hat{B}(0) &= \hat{B} \\ \frac{d}{dt} \hat{B}(t) &= [\hat{A}, \hat{B}(t)] \end{align}

(b) 式(2)の両辺を積分することで,以下の式が得られる. \[ \exp(\hat{A})\hat{B}\exp(-\hat{A}) = \hat{B} + [\hat{A}, \hat{B}] + \frac{1}{2!} [\hat{A}, [\hat{A}, \hat{B}]] + \cdots + \frac{1}{n!} \overbrace{[\hat{A},[\hat{A},\cdots, [\hat{A},}^{n個} \hat{B}]\cdots]]+\cdots \]

この式をベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式という.

証明

(a) 演算子の指数関数は $\exp(\hat{X}) \equiv \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}\hat{X}^n$ として定義される.この定義より,$\hat{X}$ と $\exp(\hat{X})$ の積は可換であることが分かる. \begin{align} \hat{B}(0) &= \exp(0)\hat{B}\exp(0) = \hat{B} \\ \frac{d}{dt} \hat{B}(t) &= \underbrace{\underbrace{\left(\frac{d}{dt}\exp(t\hat{A}) \right)}_{=\hat{A}\exp(t\hat{A})} \hat{B}\exp(-t\hat{A})}_{=\hat{A}\hat{B}(t)} + \underbrace{\exp(t\hat{A})\hat{B} \underbrace{\left( \frac{d}{dt}\exp(-t\hat{A}) \right)}_{\substack{=-\hat{A}\exp(-t\hat{A}) \\=-\exp(-t\hat{A})\hat{A}}}}_{=-\hat{B}(t)\hat{A}} = [\hat{A}, \hat{B}(t)] \end{align}

(b) 式(2)の両辺を積分すると, \begin{align} \int \frac{d}{dt} \hat{B}(t) dt &=\int [\hat{A}, \hat{B}(t)] dt\\ \hat{B}(t) + \hat{C} &=\int [\hat{A}, \hat{B}(t)] dt \end{align} となる.( $\hat{C}$ は任意の演算子) .この式の右辺の式変形をおこない,公式を導いていく.

(右辺) $= \displaystyle{\int} \left\{\frac{d}{dt}(t-1) \right\} [\hat{A}, \hat{B}(t)] dt$ として部分積分すると, \begin{align} (右辺)&= (t-1)[\hat{A}, \hat{B}(t)]-\int (t-1) \underbrace{\frac{d}{dt} [\hat{A}, \hat{B}(t)]}_{\substack{=[\hat{A},\frac{d}{dt} \hat{B}(t)]\\ =[\hat{A}, [\hat{A}, \hat{B}(t)]]}} dt \\ &= (t-1)[\hat{A}, \hat{B}(t)]-\int (t-1)[\hat{A}, [\hat{A}, \hat{B}(t)]] dt \\ &= (t-1)[\hat{A}, \hat{B}(t)]-\int \left\{\frac{1}{2}\frac{d}{dt} (t-1)^2 \right\}[\hat{A}, [\hat{A}, \hat{B}(t)]] dt \\ &= (t-1)[\hat{A}, \hat{B}(t)]-\left\{\frac{1}{2} \right. (t-1)^2 [\hat{A}, [\hat{A}, \hat{B}(t)]]- \int \frac{1}{2}(t-1)^2 \underbrace{\frac{d}{dt}[\hat{A}, [\hat{A}, \hat{B}(t)]]}_{\substack{=[\hat{A}, [\hat{A}, \frac{d}{dt}\hat{B}(t)]]\\=[\hat{A}, [\hat{A}, [\hat{A}, \hat{B}(t)]]]}} dt\left.\vphantom{ \frac{1}{2}} \right\}\\ &= (t-1)[\hat{A}, \hat{B}(t)]-\frac{1}{2}(t-1)^2 [\hat{A}, [\hat{A}, \hat{B}(t)]]+ \int \frac{1}{2}(t-1)^2 [\hat{A}, [\hat{A}, [\hat{A}, \hat{B}(t)]]] dt \\ 以上の&ようにして部分セキ分をくり返すと \\ &= (t-1)[\hat{A}, \hat{B}(t)]-\frac{1}{2}(t-1)^2 [\hat{A}, [\hat{A}, \hat{B}(t)]]+\frac{1}{3!}(t-1)^3 [\hat{A}, [\hat{A}, [\hat{A}, \hat{B}(t)]]] +\cdots \\ &\quad +\frac{(-1)^{n-1}}{n!}(t-1)^n \overbrace{ [\hat{A}, [\hat{A}, \cdots,[\hat{A},}^{n個} \hat{B}(t)]\cdots]] + \cdots \end{align}

となる.すなわち式(6)は, \begin{equation} \begin{split} \hat{B}(t) + \hat{C} &= (t-1)[\hat{A}, \hat{B}(t)]-\frac{1}{2}(t-1)^2 [\hat{A}, [\hat{A}, \hat{B}(t)]]+\frac{1}{3!}(t-1)^3 [\hat{A}, [\hat{A}, [\hat{A}, \hat{B}(t)]]] +\cdots \\ &\quad +\frac{(-1)^{n-1}}{n!}(t-1)^n [\hat{A}, [\hat{A}, \cdots,[\hat{A}, \hat{B}(t)]\cdots]] + \cdots \end{split} \end{equation}

となる.

式(15)は $t=0$ のとき,

\[ \hat{B} + \hat{C} = -[\hat{A}, \hat{B}]-\frac{1}{2}[\hat{A}, [\hat{A}, \hat{B}]]-\frac{1}{3!} [\hat{A}, [\hat{A}, [\hat{A}, \hat{B}]]] +\cdots +\underbrace{\frac{(-1)^{n-1}}{n!}(-1)^n}_{=\frac{(-1)^{2n-1}}{n!}=-\frac{1}{n!}} [\hat{A}, [\hat{A}, \cdots,[\hat{A}, \hat{B}]\cdots]] + \cdots \]

である.よって,

\[ \hat{C}= -\hat{B} -[\hat{A}, \hat{B}]-\frac{1}{2}[\hat{A}, [\hat{A}, \hat{B}]]-\frac{1}{3!} [\hat{A}, [\hat{A}, [\hat{A}, \hat{B}]]] -\cdots -\frac{1}{n!} [\hat{A}, [\hat{A}, \cdots,[\hat{A}, \hat{B}]\cdots]] - \cdots \] である.式(15)が $t=1$ のとき,$\hat{B}(1) + \hat{C} =0$ .すなわち,$\hat{B}(1) =- \hat{C}$ である.

以上より

\[ \exp(\hat{A})\hat{B}\exp(-\hat{A}) = \hat{B} + [\hat{A}, \hat{B}] + \frac{1}{2!} [\hat{A}, [\hat{A}, \hat{B}]] + \cdots + \frac{1}{n!} [\hat{A},[\hat{A},\cdots, [\hat{A}, \hat{B}]\cdots]]+\cdots \]

が示された.