三浦ノート

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ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式の証明

量子力学でよく用いられるベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式(Baker–Campbell–Hausdorff formula)を示そう.

命題

演算子 $\hat{A},\hat{B}$ に対して次の2つが成り立つ.

(a) 実数 $t$ に対して $\hat{B}(t) \equiv \exp(t\hat{A})\hat{B}\exp(-t\hat{A})$ としたとき,以下の式が成り立つ. \begin{align} \hat{B}(0) &= \hat{B} \\ \frac{d}{dt} \hat{B}(t) &= [\hat{A}, \hat{B}(t)] \end{align}

(b) 式(2)の両辺を積分することで,以下の式が得られる. \[ \exp(\hat{A})\hat{B}\exp(-\hat{A}) = \hat{B} + [\hat{A}, \hat{B}] + \frac{1}{2!} [\hat{A}, [\hat{A}, \hat{B}]] + \cdots + \frac{1}{n!} \overbrace{[\hat{A},[\hat{A},\cdots, [\hat{A},}^{n個} \hat{B}]\cdots]]+\cdots \]

この式をベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式という.

証明

(a) 演算子の指数関数は $\exp(\hat{X}) \equiv \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}\hat{X}^n$ として定義される.この定義より,$\hat{X}$ と $\exp(\hat{X})$ の積は可換であることが分かる. \begin{align} \hat{B}(0) &= \exp(0)\hat{B}\exp(0) = \hat{B} \\ \frac{d}{dt} \hat{B}(t) &= \underbrace{\underbrace{\left(\frac{d}{dt}\exp(t\hat{A}) \right)}_{=\hat{A}\exp(t\hat{A})} \hat{B}\exp(-t\hat{A})}_{=\hat{A}\hat{B}(t)} + \underbrace{\exp(t\hat{A})\hat{B} \underbrace{\left( \frac{d}{dt}\exp(-t\hat{A}) \right)}_{\substack{=-\hat{A}\exp(-t\hat{A}) \\=-\exp(-t\hat{A})\hat{A}}}}_{=-\hat{B}(t)\hat{A}} = [\hat{A}, \hat{B}(t)] \end{align}

(b) 式(2)の両辺を積分すると, \begin{align} \int \frac{d}{dt} \hat{B}(t) dt &=\int [\hat{A}, \hat{B}(t)] dt\\ \hat{B}(t) + \hat{C} &=\int [\hat{A}, \hat{B}(t)] dt \end{align} となる.( $\hat{C}$ は任意の演算子) .この式の右辺の式変形をおこない,公式を導いていく.

(右辺) $= \displaystyle{\int} \left\{\frac{d}{dt}(t-1) \right\} [\hat{A}, \hat{B}(t)] dt$ として部分積分すると, \begin{align} (右辺)&= (t-1)[\hat{A}, \hat{B}(t)]-\int (t-1) \underbrace{\frac{d}{dt} [\hat{A}, \hat{B}(t)]}_{\substack{=[\hat{A},\frac{d}{dt} \hat{B}(t)]\\ =[\hat{A}, [\hat{A}, \hat{B}(t)]]}} dt \\ &= (t-1)[\hat{A}, \hat{B}(t)]-\int (t-1)[\hat{A}, [\hat{A}, \hat{B}(t)]] dt \\ &= (t-1)[\hat{A}, \hat{B}(t)]-\int \left\{\frac{1}{2}\frac{d}{dt} (t-1)^2 \right\}[\hat{A}, [\hat{A}, \hat{B}(t)]] dt \\ &= (t-1)[\hat{A}, \hat{B}(t)]-\left\{\frac{1}{2} \right. (t-1)^2 [\hat{A}, [\hat{A}, \hat{B}(t)]]- \int \frac{1}{2}(t-1)^2 \underbrace{\frac{d}{dt}[\hat{A}, [\hat{A}, \hat{B}(t)]]}_{\substack{=[\hat{A}, [\hat{A}, \frac{d}{dt}\hat{B}(t)]]\\=[\hat{A}, [\hat{A}, [\hat{A}, \hat{B}(t)]]]}} dt\left.\vphantom{ \frac{1}{2}} \right\}\\ &= (t-1)[\hat{A}, \hat{B}(t)]-\frac{1}{2}(t-1)^2 [\hat{A}, [\hat{A}, \hat{B}(t)]]+ \int \frac{1}{2}(t-1)^2 [\hat{A}, [\hat{A}, [\hat{A}, \hat{B}(t)]]] dt \\ 以上の&ようにして部分セキ分をくり返すと \\ &= (t-1)[\hat{A}, \hat{B}(t)]-\frac{1}{2}(t-1)^2 [\hat{A}, [\hat{A}, \hat{B}(t)]]+\frac{1}{3!}(t-1)^3 [\hat{A}, [\hat{A}, [\hat{A}, \hat{B}(t)]]] +\cdots \\ &\quad +\frac{(-1)^{n-1}}{n!}(t-1)^n \overbrace{ [\hat{A}, [\hat{A}, \cdots,[\hat{A},}^{n個} \hat{B}(t)]\cdots]] + \cdots \end{align}

となる.すなわち式(6)は, \begin{equation} \begin{split} \hat{B}(t) + \hat{C} &= (t-1)[\hat{A}, \hat{B}(t)]-\frac{1}{2}(t-1)^2 [\hat{A}, [\hat{A}, \hat{B}(t)]]+\frac{1}{3!}(t-1)^3 [\hat{A}, [\hat{A}, [\hat{A}, \hat{B}(t)]]] +\cdots \\ &\quad +\frac{(-1)^{n-1}}{n!}(t-1)^n [\hat{A}, [\hat{A}, \cdots,[\hat{A}, \hat{B}(t)]\cdots]] + \cdots \end{split} \end{equation}

となる.

式(15)は $t=0$ のとき,

\[ \hat{B} + \hat{C} = -[\hat{A}, \hat{B}]-\frac{1}{2}[\hat{A}, [\hat{A}, \hat{B}]]-\frac{1}{3!} [\hat{A}, [\hat{A}, [\hat{A}, \hat{B}]]] +\cdots +\underbrace{\frac{(-1)^{n-1}}{n!}(-1)^n}_{=\frac{(-1)^{2n-1}}{n!}=-\frac{1}{n!}} [\hat{A}, [\hat{A}, \cdots,[\hat{A}, \hat{B}]\cdots]] + \cdots \]

である.よって,

\[ \hat{C}= -\hat{B} -[\hat{A}, \hat{B}]-\frac{1}{2}[\hat{A}, [\hat{A}, \hat{B}]]-\frac{1}{3!} [\hat{A}, [\hat{A}, [\hat{A}, \hat{B}]]] -\cdots -\frac{1}{n!} [\hat{A}, [\hat{A}, \cdots,[\hat{A}, \hat{B}]\cdots]] - \cdots \] である.式(15)が $t=1$ のとき,$\hat{B}(1) + \hat{C} =0$ .すなわち,$\hat{B}(1) =- \hat{C}$ である.

以上より

\[ \exp(\hat{A})\hat{B}\exp(-\hat{A}) = \hat{B} + [\hat{A}, \hat{B}] + \frac{1}{2!} [\hat{A}, [\hat{A}, \hat{B}]] + \cdots + \frac{1}{n!} [\hat{A},[\hat{A},\cdots, [\hat{A}, \hat{B}]\cdots]]+\cdots \]

が示された.