ファン・デル・ワースルの状態方程式
\begin{equation}
\left(p+\frac{n ^ {2} a}{V ^ {2}}\right)(V-n b)=n R T
\qquad (a,bは正の定数)
\end{equation}
で表される気体について.
\begin{align}
p &=\frac{n R T}{V-n b}-\frac{n ^ {2} a}{V ^ {2}}
\label{eq:netu5p}
\\
\left(\frac{\partial p}{\partial V}\right) _ {T} &=\frac{-n R T}{(V-n b) ^ {2}}+\frac{2 n ^ {2} a}{V ^ {3}}
\\
\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right) _ {V} &=\frac{n R}{V-n b}
\\
等温圧縮率 \quad \kappa _ {T} &=-\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right) _ {T}
\\
&=-\frac{1}{V}\left(\frac{2 n ^ {2} a}{V ^ {3}}-\frac{n R T}{(V-n b) ^ {2}}\right) ^ {-1}
\\
&= \left(\frac{Vn R T}{(V-n b) ^ {2}}-\frac{2 n ^ {2} a}{V ^ {2}}\right) ^ {-1}
\\
&= \frac{V ^ 2 (V-n b) ^ {2}}{V ^ 3n R T - 2 n ^ {2} a (V-n b) ^ {2}}
\\
熱圧力係数 \quad\beta &=\left(\frac{\partial p}{\partial V}\right) _ {V}=\frac{n R}{V-n b}
\\
体膨張率 \quad\alpha &=\kappa _ T \beta= \frac{n RV ^ 2 (V-n b)}{V ^ 3n R T - 2 n ^ {2} a (V-n b) ^ {2}}
\end{align}
である.(【熱力学】気体の状態方程式といろいろな係数 - 三浦と窮理とブログ)
次に,式\eqref{eq:netu5p}よりビリアル展開することを考える.
\begin{align}
p \frac{V}{n} &=R T \left ( \frac{1}{1-\frac{n b}{V}}-\frac{n a}{R T V} \right )
\\
&= R T\left(\left(1+\frac{n b}{V}+\left(\frac{n b}{V}\right) ^ {2}+\cdots\right)-\frac{n a}{R T V}\right)
\\
&=RT \left(1+(b-\frac{a}{RT})\frac{n }{V}+\left(\frac{n b}{V}\right) ^ {2}+\cdots \right)
\end{align}
となるので,第2ビリアル係数は $ b-\frac{a}{RT} $ である.この係数は高温では正の値 $ b $ に近づくが,低温では負の値をとる.この係数の符号が変わる温度をジュール温度といい,今考えているファン・デル・ワースル気体では
\begin{equation}
b-\frac{a}{RT _ J} =0
\quad\Leftrightarrow\quad T _ J = \frac{a}{bR}
\end{equation}
と求まる.
参考

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